Наугад написал на доске четырехзначное число. Какова вероятность того, что чсе цифры в записе этого числа различны?
Для решения задачи о вероятности того, что все цифры в четырехзначном числе различны, следуем плану:
Определим общее количество четырехзначных чисел. Четырехзначное число — это число от 1000 до 9999. Таким образом, общее количество четырехзначных чисел: \[ 9999 - 1000 + 1 = 9000 \]
Посчитаем количество четырехзначных чисел с различными цифрами.
- Первая цифра (тысячи) может быть выбрана из 1-9 (то есть 9 вариантов, так как она не может быть нулем).
- Вторая цифра (сотни) может быть выбрана из всех 10 цифр (0-9), исключая уже использованную первую цифру. Это 9 вариантов.
- Третья цифра (десятки) может быть выбрана из оставшихся 8 цифр (10 - 2 уже использованные).
- Четвертая цифра (единицы) может быть выбрана из оставшихся 7 цифр.
Общее количество способов выбора цифр будет: \[ 9 \times 9 \times 8 \times 7 \]
Пояснение:
- 9 вариантов для первой цифры (от 1 до 9),
- 9 вариантов для второй цифры (0-9, исключая уже выбранную первую),
- 8 вариантов для третьей цифры (исключая 2 уже выбранные),
- 7 вариантов для четвертой цифры (исключая 3 уже выбранные).
Теперь произведем расчет: \[ 9 \times 9 \times 8 \times 7 = 4536 \]
Теперь находим вероятность того, что все цифры различны. Вероятность P можно вычислить по формуле: \[ P = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{4536}{9000} \]
Упростим дробь: \[ P = \frac{4536 \div 9}{9000 \div 9} = \frac{504}{1000} = 0.504 \]
Запишем ответ. Вероятность того, что все цифры в записи четырехзначного числа различны, составляет 0.504, или 50.4%.
Таким образом, вероятность того, что все цифры в выбранном четырехзначном числе будут различны, равна примерно 50.4%.
