Постройте график функции у= 3- х+5/х3+5х и определите, при каких значениях m прямая y m не имеет с графиком общих точек.
Чтобы решить задачу, начнем с анализа функции и построения графика, а затем определим, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) не имеет пересечений с графиком функции.
Шаг 1: Анализ функции
Функция, которую нам нужно исследовать, имеет вид: \[ y = 3 - x + \frac{5}{x^3 + 5x} \]
Для начала определим области, где эта функция определяется. Сначала отметим, что дробь \( \frac{5}{x^3 + 5x} \) не будет определена, если знаменатель равен нулю. Найдем корни уравнения: \[ x^3 + 5x = 0 \] Факторизуем: \[ x(x^2 + 5) = 0 \] Это уравнение имеет решения: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x^2 + 5 = 0 \] Из второго уравнения \( x^2 + 5 = 0 \) мы получаем комплексные корни, поэтому единственное действительное решение — это \( x = 0 \).
Таким образом, функция \( y \) не определена при \( x = 0 \).
Шаг 2: Исследование поведения функции
Теперь давайте проанализируем, как ведет себя функция при различных значениях \( x \).
При \( x \to +\infty \): \[ y \approx 3 - x \to -\infty \]
При \( x \to -\infty \): \[ y \approx 3 - x \to +\infty \]
При \( x \to 0^+ \) (приближаясь к нулю справа): \[ y = 3 - 0 + \frac{5}{0^3 + 5 \cdot 0} = 3 + \infty = +\infty \]
При \( x \to 0^- \) (приближаясь к нулю слева): \[ y = 3 - 0 + \frac{5}{0^3 + 5 \cdot 0} = 3 + \infty = +\infty \]
Таким образом, функция стремится к \( +\infty \) при подходе к нулю с обеих сторон.
Шаг 3: Нахождение экстремумов функции
Чтобы лучше понять поведение функции, найдем производную и исследуем её: \[ y = 3 - x + \frac{5}{x^3 + 5x} \] Вычислим производную: \[ y' = -1 + \frac{d}{dx}\left(\frac{5}{x^3 + 5x}\right) \] Используем правило производной для дроби: \[ \frac{d}{dx} \left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] где \( u = 5 \) (постоянная, поэтому \( u' = 0 \)) и \( v = x^3 + 5x \) (для которого \( v' = 3x^2 + 5 \)).
Подставляем: \[ y' = -1 + \frac{0 \cdot (x^3 + 5x) - 5(3x^2 + 5)}{(x^3 + 5x)^2} = -1 - \frac{15x^2 + 25}{(x^3 + 5x)^2} \]
Поскольку дробь всегда отрицательна (при \( x \neq 0 \)), то \( y' < 0 \) для всех \( x \neq 0 \). Это означает, что функция убывает на интервалах \( (-\infty, 0) \) и \( (0, +\infty) \).
Шаг 4: Определение значений \( m \)
Теперь, давайте определить, при каких \( m \) прямая \( y = m \) не будет пересекаться с графиком функции.
На интервале \( (-\infty, 0) \):
- Функция убывает от \( +\infty \) до некоторого значения, которое мы можем обозначить как \( y(0^-) = +\infty \).
На интервале \( (0, +\infty) \):
- Функция убывает от \( +\infty \) до \( -\infty \).
Таким образом, на интервале \( (0, +\infty) \) достигается все значения \( y \), в то время как на интервале \( (-\infty, 0) \) - функция уверенно уходит в минус.
Ответ
Следовательно, прямая \( y = m \) не будет пересекаться с графиком функции, если \( m \) больше максимального значения функции на интервале \( (0, +\infty) \).
Поэтому, можно заключить: \[ m > 3 \]
Таким образом, прямая \( y = m \) не будет иметь общих точек с графиком функции для \( m > 3 \).
