От острова, расположенного в 5 км от пристани, отходит катер. До тех пор, пока катер на дойдёт к пристани, его расстояние до неё описывается формулой s(t)=5+8t-4t^2, где s-…

Для решения задачи сначала определим, в какой момент времени катер находится в пределах видимости наблюдателя, то есть на расстоянии не более 8 километров от пристани.

Формула, описывающая расстояние катера до пристани, имеет вид: \[ s(t) = 5 + 8t - 4t^2 \]

Где:

• \( s(t) \) — расстояние от катера до пристани (в км),
• \( t \) — время в часах с момента отплытия.

Катер будет находиться в видимости наблюдателя, пока \( s(t) \) меньше или равно 8 километрам. То есть нам нужно решить неравенство:

\[ s(t) \leq 8 \]

Подставляем значение функции в неравенство:

\[ 5 + 8t - 4t^2 \leq 8 \]

Упрощаем его:

1. Вычтем 8 из обеих частей: \[ 5 + 8t - 4t^2 - 8 \leq 0 \] \[ -4t^2 + 8t - 3 \leq 0 \]

2. Умножим все части неравенства на -1 (изменив знак неравенства): \[ 4t^2 - 8t + 3 \geq 0 \]

Теперь давайте найдем корни квадратного уравнения \( 4t^2 - 8t + 3 = 0 \) с помощью формулы квадратного корня:

\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 4 \), \( b = -8 \), \( c = 3 \).

Сначала найдем дискриминант \( D \): \[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16 \]

Теперь найдем корни уравнения: \[ t = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{8 \pm 4}{8} \] Это дает два корня:

1. \( t_1 = \frac{12}{8} = 1.5 \)
2. \( t_2 = \frac{4}{8} = 0.5 \)

Теперь у нас есть корни \( t_1 = 1.5 \) и \( t_2 = 0.5 \). Мы можем построить числовую прямую и проверить промежутки:

Неравенство \( 4t^2 - 8t + 3 \geq 0 \) выполняется вне корней, то есть на интервалах:

1. \( (-\infty, 0.5) \)
2. \( (1.5, +\infty) \)

Время, когда катер находится в зоне видимости наблюдателя на интервале от 0.5 до 1.5 часов: \[ 1.5 - 0.5 = 1 \text{ час} \]

Таким образом, катер будет находиться в видимости наблюдателя в течение 1 часа.