Для решения задачи сначала определим, в какой момент времени катер находится в пределах видимости наблюдателя, то есть на расстоянии не более 8 километров от пристани.
Формула, описывающая расстояние катера до пристани, имеет вид:
[ s(t) = 5 + 8t - 4t^2 ]
Где:
- ( s(t) ) — расстояние от катера до пристани (в км),
- ( t ) — время в часах с момента отплытия.
Катер будет находиться в видимости наблюдателя, пока ( s(t) ) меньше или равно 8 километрам. То есть нам нужно решить неравенство:
[ s(t) \leq 8 ]
Подставляем значение функции в неравенство:
[ 5 + 8t - 4t^2 \leq 8 ]
Упрощаем его:
Вычтем 8 из обеих частей:
[
5 + 8t - 4t^2 - 8 \leq 0
]
[
-4t^2 + 8t - 3 \leq 0
]
Умножим все части неравенства на -1 (изменив знак неравенства):
[
4t^2 - 8t + 3 \geq 0
]
Теперь давайте найдем корни квадратного уравнения ( 4t^2 - 8t + 3 = 0 ) с помощью формулы квадратного корня:
[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]
где ( a = 4 ), ( b = -8 ), ( c = 3 ).
Сначала найдем дискриминант ( D ):
[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16 ]
Теперь найдем корни уравнения:
[ t = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{8 \pm 4}{8} ]
Это дает два корня:
- ( t_1 = \frac{12}{8} = 1.5 )
- ( t_2 = \frac{4}{8} = 0.5 )
Теперь у нас есть корни ( t_1 = 1.5 ) и ( t_2 = 0.5 ). Мы можем построить числовую прямую и проверить промежутки:
Неравенство ( 4t^2 - 8t + 3 \geq 0 ) выполняется вне корней, то есть на интервалах:
- ( (-\infty, 0.5) )
- ( (1.5, +\infty) )
Время, когда катер находится в зоне видимости наблюдателя на интервале от 0.5 до 1.5 часов:
[ 1.5 - 0.5 = 1 \text{ час} ]
Таким образом, катер будет находиться в видимости наблюдателя в течение 1 часа.
