Симметричную монету бросают 13 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 7 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 10 орлов»?

Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать формулу для вычисления вероятности события при броске симметричной монеты. Вероятность того, что при n бросках монеты совпадет k исходов (в нашем случае, это количество орлов), можно найти с помощью биномиального распределения. Формула выглядит так:

\[ P(k; n, p) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

где:

• \( P(k; n, p) \) — вероятность получить k успехов (орлов) в n испытаниях (бросках),
• \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, определяемый как \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \),
• \( p \) — вероятность успеха (в нашем случае, \( p = \frac{1}{2} \)),
• \( (1-p) \) — вероятность неуспеха.

Шаг 1: Расчет вероятности для 7 орлов

Подставим значения в формулу для случая, когда k = 7 и n = 13:

\[ P(7; 13, \frac{1}{2}) = C(13, 7) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^7 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{13-7} \]

Упростим:

\[ P(7; 13, \frac{1}{2}) = C(13, 7) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{13} \]

Теперь найдем биномиальный коэффициент \( C(13, 7) \):

\[ C(13, 7) = \frac{13!}{7!(13-7)!} = \frac{13!}{7!6!} \]

Вычислим \( 13! \), \( 7! \), и \( 6! \) (можно использовать сокращенную запись):

\[ C(13, 7) = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1716 \]

Теперь вернемся к вероятности:

\[ P(7; 13, \frac{1}{2}) = 1716 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{13} \]

Шаг 2: Расчет вероятности для 10 орлов

Теперь найдем вероятность для случая, когда k = 10:

\[ P(10; 13, \frac{1}{2}) = C(13, 10) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{13} \]

Согласно свойствам биномиальных коэффициентов:

\[ C(13, 10) = C(13, 3) = \frac{13!}{3!10!} \]

Вычислим:

\[ C(13, 3) = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 286 \]

Таким образом, вероятность для 10 орлов:

\[ P(10; 13, \frac{1}{2}) = 286 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{13} \]

Шаг 3: Сравнение вероятностей

Итак, теперь мы можем найти, во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 7 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 10 орлов»:

\[ \frac{P(7; 13, \frac{1}{2})}{P(10; 13, \frac{1}{2})} = \frac{1716 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{13}}{286 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{13}} = \frac{1716}{286} \]

Теперь делим:

\[ \frac{1716}{286} = 6 \]

Ответ

Вероятность события «выпадет ровно 7 орлов» в 6 раз больше вероятности события «выпадет ровно 10 орлов».