моторная лодка прошла по течению реки 8 км а против течения 3км, затратив на весь путь 45 минут. Найдите собственную скорость лодки , если скорость течения реки равна 2км/ч

Чтобы решить эту задачу, сначала давайте обозначим некоторые параметры:

• Пусть \( v \) — собственная скорость лодки (км/ч).
• Скорость течения реки равна 2 км/ч.

Теперь найдем скорость лодки относительно береговой линии в зависимости от направления движения:

1. При движении по течению: \[ v_{\text{по течению}} = v + 2 \quad (\text{прибавляем скорость течения}) \]

2. При движении против течения: \[ v_{\text{против течения}} = v - 2 \quad (\text{вычитаем скорость течения}) \]

Следующий шаг — определить, сколько времени затратила лодка на каждый участок пути. Время можно найти по формуле: \[ t = \frac{s}{v} \] где \( t \) — время, \( s \) — расстояние, \( v \) — скорость.

Теперь рассчитаем время, затраченное на каждую часть пути:

• Время, затраченное на путь по течению (расстояние 8 км): \[ t_1 = \frac{8}{v + 2} \]

• Время, затраченное на путь против течения (расстояние 3 км): \[ t_2 = \frac{3}{v - 2} \]

Согласно условию задачи, общее время в пути составило 45 минут, что в часах будет: \[ \frac{45}{60} = 0.75 \text{ часа} \]

Теперь можем записать уравнение для общего времени: \[ t_1 + t_2 = 0.75 \] Подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \): \[ \frac{8}{v + 2} + \frac{3}{v - 2} = 0.75 \]

Теперь умножим обе стороны уравнения на \( (v + 2)(v - 2) \) для избавления от знаменателей: \[ 8(v - 2) + 3(v + 2) = 0.75 (v + 2)(v - 2) \] Раскроем скобки: \[ 8v - 16 + 3v + 6 = 0.75 (v^2 - 4) \] Соберём подобные: \[ 11v - 10 = 0.75v^2 - 3 \] Упорядочим уравнение так, чтобы все члены были на одной стороне: \[ 0.75v^2 - 11v + 7 = 0 \]

Теперь, умножим все на 4 для удобства (чтобы избавиться от дробей): \[ 3v^2 - 44v + 28 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-44)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 28 = 1936 - 336 = 1600 \]

Корни уравнения можно найти по формуле: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{44 \pm \sqrt{1600}}{6} \] Вычислим: \[ \sqrt{1600} = 40 \] Поэтому: \[ v = \frac{44 \pm 40}{6} \]

Это значит, что у нас два возможных значения:

1. \( v = \frac{84}{6} = 14 \)
2. \( v = \frac{4}{6} \approx 0.67 \)

Так как скорость лодки не может быть отрицательной и должна быть достаточно значительной для реального сценария, выберем: \[ v = 14 \, \text{км/ч} \]

Итак, собственная скорость лодки составляет 14 км/ч.