Вероятность изготовления на станке нестандартной детали равна 0,1. Найти вероятность того, что из 6 взятых деталей 5 окажутся стандартными?
Чтобы решить задачу, следует использовать понятие вероятности. Мы знаем, что вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,1. Следовательно, вероятность того, что деталь стандартная, равна:
\[ P(стандартная) = 1 - P(нестандартная) = 1 - 0,1 = 0,9. \]
Теперь мы хотим найти вероятность того, что из 6 взятых деталей 5 окажутся стандартными. Это задача на использование биномиального распределения, так как мы имеем фиксированное число экспериментов (изготовление деталей) и два возможных исхода (стандартная или нестандартная деталь).
Обозначим:
- \( n \) — общее количество испытаний (в нашем случае 6 деталей),
- \( k \) — количество успешных исходов, т.е. стандартных деталей (в нашем случае 5),
- \( p \) — вероятность успеха в одном испытании (стандартная деталь, \( p = 0,9 \)),
- \( q \) — вероятность неудачи в одном испытании (нестандартная деталь, \( q = 0,1 \)).
Формула для нахождения вероятности при биномиальном распределении имеет вид:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}, \]
где \( C(n, k) \) — сочетания из \( n \) по \( k \), которые можно найти по формуле:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}. \]
Шаги решения:
Найдём сочетания \( C(6, 5) \): \[ C(6, 5) = \frac{6!}{5!(6-5)!} = \frac{6!}{5! \cdot 1!} = \frac{6 \cdot 5!}{5! \cdot 1} = 6. \]
Вычислим \( p^k \) и \( q^{n-k} \):
- \( p^k = (0,9)^5 \): \[ (0,9)^5 = 0,59049. \]
- \( q^{n-k} = (0,1)^1 \): \[ (0,1)^1 = 0,1. \]
Теперь подставим все найденные значения в формулу: \[ P(X = 5) = C(6, 5) \cdot (0,9)^5 \cdot (0,1)^1 = 6 \cdot 0,59049 \cdot 0,1. \] \[ P(X = 5) = 6 \cdot 0,059049 = 0,354294. \]
Ответ:
Таким образом, вероятность того, что из 6 взятых деталей 5 окажутся стандартными, составляет примерно \( 0,3543 \) или \( 35,43\% \).
