Вероятность изготовления на станке нестандартной детали равна 0,1. Найти вероятность того, что из 6 взятых деталей 5 окажутся стандартными?
Чтобы решить задачу, следует использовать понятие вероятности. Мы знаем, что вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,1. Следовательно, вероятность того, что деталь стандартная, равна:
\[ P(стандартная) = 1 - P(нестандартная) = 1 - 0,1 = 0,9. \]
Теперь мы хотим найти вероятность того, что из 6 взятых деталей 5 окажутся стандартными. Это задача на использование биномиального распределения, так как мы имеем фиксированное число экспериментов (изготовление деталей) и два возможных исхода (стандартная или нестандартная деталь).
Обозначим:
- \( n \) — общее количество испытаний (в нашем случае 6 деталей),
- \( k \) — количество успешных исходов, т.е. стандартных деталей (в нашем случае 5),
- \( p \) — вероятность успеха в одном испытании (стандартная деталь, \( p = 0,9 \)),
- \( q \) — вероятность неудачи в одном испытании (нестандартная деталь, \( q = 0,1 \)).
Формула для нахождения вероятности при биномиальном распределении имеет вид:
\[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k},
\]
где \( C(n, k) \) — сочетания из \( n \) по \( k \), которые можно найти по формуле:
\[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}.
\]
### Шаги решения:
1. **Найдём сочетания \( C(6, 5) \)**:
\[
C(6, 5) = \frac{6!}{5!(6-5)!} = \frac{6!}{5! \cdot 1!} = \frac{6 \cdot 5!}{5! \cdot 1} = 6.
\]
2. **Вычислим \( p^k \) и \( q^{n-k} \)**:
- \( p^k = (0,9)^5 \):
\[
(0,9)^5 = 0,59049.
\]
- \( q^{n-k} = (0,1)^1 \):
\[
(0,1)^1 = 0,1.
\]
3. **Теперь подставим все найденные значения в формулу**:
\[
P(X = 5) = C(6, 5) \cdot (0,9)^5 \cdot (0,1)^1 = 6 \cdot 0,59049 \cdot 0,1.
\]
\[
P(X = 5) = 6 \cdot 0,059049 = 0,354294.
\]
### Ответ:
Таким образом, вероятность того, что из 6 взятых деталей 5 окажутся стандартными, составляет примерно \( 0,3543 \) или \( 35,43\% \).
