Вероятность изготовления на станке нестандартной детали равна 0,1. Найти вероятность того, что из 6 взятых деталей 5 окажутся стандартными?
Чтобы решить эту задачу, мы можем воспользоваться формулой для биномиального распределения. В нашей ситуации у нас есть вероятность успеха (изготовления стандартной детали) и вероятность неудачи (изготовления нестандартной детали).
Дано:
- Вероятность изготовления нестандартной детали (неудача) \( P(N) = 0.1 \).
- Поэтому вероятность изготовления стандартной детали (успех) \( P(S) = 1 - P(N) = 1 - 0.1 = 0.9 \).
- Общее количество деталей, \( n = 6 \).
- Мы хотим найти вероятность того, что из 6 деталей 5 окажутся стандартными, то есть \( k = 5 \) (стандартные детали) и \( n - k = 6 - 5 = 1 \) (нестандартные детали).
Формула биномиального распределения:
Вероятность того, что в \( n \) испытаниях будет \( k \) успешных исходов, вычисляется по формуле:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot (P(S))^k \cdot (P(N))^{n-k} \]
где \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, равный количеству сочетаний из \( n \) по \( k \) и вычисляется как:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Подставляем данные в формулу:
- Вычисляем биномиальный коэффициент \( C(6, 5) \):
\[ C(6, 5) = \frac{6!}{5! \cdot 1!} = \frac{6 \cdot 5!}{5! \cdot 1} = 6 \]
- Подставляем значения в формулу:
\[ P(X = 5) = C(6, 5) \cdot (P(S))^5 \cdot (P(N))^{1} \]
\[ P(X = 5) = 6 \cdot (0.9)^5 \cdot (0.1)^{1} \]
- Вычислим \( (0.9)^5 \) и \( (0.1)^{1} \):
\[ (0.9)^5 = 0.59049 \]
\[ (0.1)^{1} = 0.1 \]
- Теперь подставляем значения:
\[ P(X = 5) = 6 \cdot 0.59049 \cdot 0.1 \] \[ P(X = 5) = 6 \cdot 0.059049 = 0.354294 \]
Ответ:
Вероятность того, что из 6 взятых деталей 5 окажутся стандартными, равна приблизительно 0.3543 (или 35.43%).
