Выяснить, имеет ли решение система уравнений x - 3y = 4, 2x - y = 3.
Чтобы выяснить, имеет ли решение заданная система уравнений, мы можем попытаться решить ее. Давайте начнем с уравнений, которые у нас есть:
- \( x - 3y = 4 \)
- \( 2x - y = 3 \)
Шаг 1: Решение одной из уравнений относительно одной переменной
Начнем с первого уравнения и выразим из него \( x \):
\[ x = 3y + 4 \]
Шаг 2: Подстановка выраженного значения в другое уравнение
Теперь подставим значение \( x \) в второе уравнение:
\[ 2(3y + 4) - y = 3 \]
Шаг 3: Упростим уравнение
Распределим 2:
\[ 6y + 8 - y = 3 \]
Теперь объединим подобные члены:
\[ 5y + 8 = 3 \]
Шаг 4: Переносим 8 на правую сторону
Упростим уравнение, вычитая 8 из обеих сторон:
\[ 5y = 3 - 8 \]
\[ 5y = -5 \]
Шаг 5: Выражаем \( y \)
Теперь поделим обе стороны на 5:
\[ y = -1 \]
Шаг 6: Найдем \( x \)
Теперь, когда мы нашли \( y \), подставим его значение обратно в уравнение для \( x \):
\[ x = 3(-1) + 4 \]
\[ x = -3 + 4 \]
\[ x = 1 \]
Шаг 7: Проверка решения
У нас есть решение: \( x = 1 \) и \( y = -1 \). Проведем проверку, подставив эти значения в исходные уравнения.
Для первого уравнения:
\[ 1 - 3(-1) = 1 + 3 = 4 \]
Это верно.
Для второго уравнения:
\[ 2(1) - (-1) = 2 + 1 = 3 \]
Это также верно.
Вывод
Обе проверки показывают, что \( x = 1 \) и \( y = -1 \) являются решением данной системы уравнений. Так что система имеет решение — это точка пересечения двух прямых, заданных этими уравнениями.
