2.240. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной: a) За(а - 2) - (a - 2)(За - 1) - а; б) (2x - 1)(3x + 1) - (x + 1)(6x - 1) + 3(2x - 1).
Давайте разберем обе части задачи по порядку.
а) За(а - 2) - (a - 2)(За - 1) - а
Раскроем скобки:
- Первое слагаемое: За(а - 2) остается как есть.
- Второе слагаемое: (a - 2)(За - 1) = (a * За - a * 1 - 2 * За + 2).
- Третье слагаемое: -a остается как есть.
Теперь у нас есть: \[ За(а - 2) - (a * За - a - 2 * За + 2) - a. \]
Упрощим выражение: Объединим все слагаемые: \[ За(а - 2) - a * За + a + 2 * За - 2 - a. \]
Соберем подобные слагаемые: \[ За(а - 2) - a * За + 2 * За - 2. \]
Факторизуем выражение: Заметим, что \(За(а - 2) - a * За + 2 * За\) можно соединить: \[ За(а - 2 - a + 2). \] Это упрощается до: \[ За(0) - 2 = -2. \]
Теперь видим, что все выражение свелось к -2, что не зависит от переменной \(a\).
б) (2x - 1)(3x + 1) - (x + 1)(6x - 1) + 3(2x - 1)
- Раскроем скобки в каждом слагаемом:
- Первое слагаемое: \[ (2x - 1)(3x + 1) = 6x^2 + 2x - 3x - 1 = 6x^2 - x - 1. \]
- Второе слагаемое: \[ (x + 1)(6x - 1) = 6x^2 + x - 6x - 1 = 6x^2 - 5x - 1. \]
- Третье слагаемое: \[ 3(2x - 1) = 6x - 3. \]
Теперь у нас есть: \[ (6x^2 - x - 1) - (6x^2 - 5x - 1) + (6x - 3). \]
- Упрощаем выражение: Сначала уменьшаем второе слагаемое: \[ (6x^2 - x - 1) - 6x^2 + 5x + 1 + 6x - 3. \] Упрощая: \[ - x + 5x + 6x - 1 + 1 - 3 = 10x - 3. \]
Таким образом, итоговое выражение равно \(10x - 3\), которое также зависит от переменной \(x\).
Вывод
В первой части (а) мы доказали, что значение выражения не зависит от переменной \(a\) и равно -2. Во второй части (б) результат зависит от \(x\) и равен \(10x - 3\), что указывает на то, что выражение зависит от значения \(x\).
