Для решения задачи воспользуемся формулой для вычисления вероятности событий, которые можно описать с помощью биномиального распределения. В данном случае у нас есть стрелок, который стреляет по пяти мишеням, на каждую из которых у него есть два выстрела. Вероятность успешного попадания в мишень составляет 0,4.
Сначала определим, что нам нужно найти:
- Вероятность того, что стрелок поразит ровно 4 мишени.
- Вероятность того, что стрелок поразит ровно 3 мишени.
- Найти, во сколько раз первая вероятность больше второй.
Шаг 1: Вероятность попадания в мишени
Для нахождения этих вероятностей будем использовать подход с биномиальным распределением и вспомним, что для двух выстрелов на мишень все возможно:
- Для каждого из двух выстрелов вероятность попадания составляет 0,4.
- Вероятность промаха составляет 0,6 (т.е. 1 - 0,4).
Итак, для каждой мишени с двумя выстрелами мы можем иметь следующие варианты:
- 0 попаданий (обе промахи): (P(0) = (0,6)^2 = 0,36)
- 1 попадание (один попадание, один промах): (P(1) = 2 \cdot (0,4) \cdot (0,6) = 0,48)
- 2 попадания (оба попадания): (P(2) = (0,4)^2 = 0,16)
Теперь обозначим для каждой мишени следующие вероятности:
- (p_0 = 0,36) (0 попаданий)
- (p_1 = 0,48) (1 попадание)
- (p_2 = 0,16) (2 попадания)
Шаг 2: Составление вероятности для всех мишеней
Теперь мы можем вычислить вероятность попадания в ровно 3 и ровно 4 мишени, используя комбинаторный подход. Нам необходимо учитывать, что для 4 мишеней мы можем:
- 4 мишени поразить, а 1 мишень не поразить: (C(5,4) \cdot p_2^4 \cdot p_0^1)
- 3 мишени поразить, а 2 мишени не поразить (также возможно): (C(5,3) \cdot p_2^3 \cdot p_0^2)
- Или другие вариации (включая 1 попадание, 0 и т.д.). Мы лишь рассматриваем события с целым числом попаданий.
Шаг 3: Подсчет вероятностей
- Вероятность поразить ровно 4 мишени:
[
P(4) = C(5,4) \cdot p_2^4 \cdot p_0^1 = 5 \cdot (0,16)^4 \cdot (0,36)^1
]
- Вероятность поразить ровно 3 мишени:
[
P(3) = C(5,3) \cdot p_2^3 \cdot p_0^2 = 10 \cdot (0,16)^3 \cdot (0,36)^2
]
Теперь, чтобы найти, во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно 4 мишени» больше вероятности события «стрелок поразит ровно 3 мишени», необходимо вычислить:
[
\frac{P(4)}{P(3)}
]
Шаг 4: Подсчет коэффициента
Подставляем известные значения и вычисляем. Вместо численного подсчета, рассчитаем только коэффициенты вероятностей.
Итак, итоговые выражения упрощаются:
[
\frac{5 \cdot (0,16)^4 \cdot (0,36)}{10 \cdot (0,16)^3 \cdot (0,36)^2} = \frac{5 \cdot 0,16}{10 \cdot 0,36} = \frac{0,8}{0,36}
]
Делая вычисления:
[
\frac{0,8}{0,36} \approx 2,22
]
Таким образом, вероятность события «стрелок поразит ровно 4 мишени» больше вероятности события «стрелок поразит ровно 3 мишени» примерно в 2,22 раза.
