В одной команде на соревнованиях по физике три участника. В первом конкурсе выбранный случайным образом один из трёх участников решает две задачи. Вероятность решения одной задачи для первого участника равна 0,4, для второго — 0,4, для третьего — 0,2. Вычислите вероятность того, что обе задачи будут решены. Ответ:
Для решения этой задачи мы используем правило полной вероятности, поскольку у нас есть три участника, каждый из которых имеет свои шансы на успех.
### Шаг 1: Определение вероятностей
- Вероятность того, что 1-й участник решит обе задачи:
- \( P(A_1) = 0,4 \) (вероятность решения одной задачи)
- Вероятность того, что 1-й участник решит обе задачи:
\[
P(\text{оба задачи | } A_1) = P(A_1) \times P(A_1) = 0,4 \times 0,4 = 0,16
\]
- Вероятность того, что 2-й участник решит обе задачи:
- \( P(A_2) = 0,4 \)
- Вероятность того, что 2-й участник решит обе задачи:
\[
P(\text{оба задачи | } A_2) = P(A_2) \times P(A_2) = 0,4 \times 0,4 = 0,16
\]
- Вероятность того, что 3-й участник решит обе задачи:
- \( P(A_3) = 0,2 \)
- Вероятность того, что 3-й участник решит обе задачи:
\[
P(\text{оба задачи | } A_3) = P(A_3) \times P(A_3) = 0,2 \times 0,2 = 0,04
\]
### Шаг 2: В результате нам нужно учесть, что один из участников выбран случайным образом с равной вероятностью
Поскольку каждый из участников может быть выбран с вероятностью \( \frac{1}{3} \),-то полная вероятность того, что обе задачи будут решены, будет равна:
\[
P(\text{обе задачи решены}) = P(A_1) \cdot P(\text{оба задачи | } A_1) + P(A_2) \cdot P(\text{оба задачи | } A_2) + P(A_3) \cdot P(\text{оба задачи | } A_3)
\]
### Шаг 3: Рассчитаем полную вероятность:
\[
P(\text{обе задачи решены}) = \frac{1}{3} \cdot 0,16 + \frac{1}{3} \cdot 0,16 + \frac{1}{3} \cdot 0,04
\]
Теперь можно сосчитать это:
\[
P(\text{обе задачи решены}) = \frac{1}{3} (0,16 + 0,16 + 0,04) = \frac{1}{3} \cdot 0,36 = 0,12
\]
### Ответ:
Вероятность того, что обе задачи будут решены, равна \( 0,12 \) или \( 12\% \).
