У мальчика Вити по утрам бывает два вида настроения: хорошее и отличное, причём настроение, установившись утром, держится неизменным весь день. Известно, что с вероятностью 0,8…
У мальчика Вити по утрам бывает два вида настроения: хорошее и отличное, причём настроение, установившись утром, держится неизменным весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 настроение завтра будет таким же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, Витя встал с хорошим настроением. Найдите вероятность того, что 6 июля у Вити будет отличное настроение. Ответ:
Для решения задачи воспользуемся методом цепной вероятности, поскольку каждое предыдущее состояние влияет на следующее.
Даны данные:
- Сегодня 3 июля, настроение Вити хорошее (Г).
- Вероятность того, что настроение останется таким же (Г) завтра (4 июля): \( P(Г \rightarrow Г) = 0.8 \)
- Вероятность того, что настроение изменится на отличное (О): \( P(Г \rightarrow О) = 0.2 \)
- Аналогично, если настроение завтра будет отличное, вероятность того, что оно останется отличным на следующий день (5 июля): \( P(О \rightarrow О) = 0.8 \) и \( P(О \rightarrow Г) = 0.2 \).
Определим все возможные настроения к 6 июля: У нас есть два дня (4 и 5 июля) за которые может измениться настроение. Мы рассмотрим все варианты развития событий.
Сценарий 1: Настроение остается хорошим оба дня.
- \( P(Г \rightarrow Г \rightarrow Г) = 0.8 \times 0.8 = 0.64 \)
- В этом случае 6 июля Витя будет с хорошим настроением.
Сценарий 2: Настроение остается хорошим, а потом становится отличным.
- \( P(Г \rightarrow Г \rightarrow О) = 0.8 \times 0.2 = 0.16 \)
- В этом случае 6 июля Витя будет с отличным настроением.
Сценарий 3: Настроение меняется на отличное, а потом снова становится хорошим.
- \( P(Г \rightarrow О \rightarrow Г) = 0.2 \times 0.2 = 0.04 \)
- В этом случае 6 июля Витя будет с хорошим настроением.
Сценарий 4: Настроение меняется на отличное и остается отличным.
- \( P(Г \rightarrow О \rightarrow О) = 0.2 \times 0.8 = 0.16 \)
- В этом случае 6 июля Витя будет с отличным настроением.
Теперь найдем общую вероятность того, что 6 июля у Вити будет отличное настроение:
- Сценарий 2 (ветвь, где с хорошего на отличное): \( P(Г \rightarrow Г \rightarrow О) = 0.16 \)
- Сценарий 4 (ветвь, где с хорошего на отличное и остается таким): \( P(Г \rightarrow О \rightarrow О) = 0.16 \)
Суммируем вероятности этих двух сценариев, чтобы найти общую вероятность, что у Вити будет отличное настроение 6 июля: \[ P(О) = 0.16 + 0.16 = 0.32 \]
Таким образом, вероятность того, что 6 июля у Вити будет отличное настроение, составляет 0.32 или 32%.
