Вопрос от Анонимного юзера 17 марта 2025 11:09

Question 1

Шар вписан в цилиндр . Площадь поверхности шара равна 42. Найди площадь полной поверхности цилиндра

Answer

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Дано:

Площадь поверхности шара ( S_{\text{шар}} = 42 ).

Шаг 1: Найдем радиус шара

Формула для площади поверхности сферы (шара) выглядит следующим образом:

[ S_{\text{шар}} = 4\pi r^2 ]

где ( r ) — радиус шара.

Мы знаем, что:

[ 4\pi r^2 = 42 ]

Делим обе стороны на ( 4\pi ):

[ r^2 = \frac{42}{4\pi} ]

[ r^2 = \frac{21}{2\pi} ]

Теперь извлечем корень из обеих сторон, чтобы найти радиус ( r ):

[ r = \sqrt{\frac{21}{2\pi}} ]

Шаг 2: Найдем высоту цилиндра

Поскольку шар вписан в цилиндр, высота цилиндра ( h ) будет равна диаметру шара. Диаметр шара ( d ) может быть найден как:

[ d = 2r ]

где ( r ) — это радиус шара, который мы нашли ранее.

Следовательно,

[ h = 2r = 2\sqrt{\frac{21}{2\pi}} = \frac{2\sqrt{21}}{\sqrt{2\pi}} = \frac{2\sqrt{21} \sqrt{2}}{2\sqrt{\pi}} = \frac{\sqrt{42}}{\sqrt{\pi}} = \sqrt{\frac{42}{\pi}} ]

Шаг 3: Найдем радиус основания цилиндра

Радиус основания ( R ) цилиндра равен радиусу шара ( r ):

[ R = r = \sqrt{\frac{21}{2\pi}} ]

Шаг 4: Найдем площадь полной поверхности цилиндра

Площадь полной поверхности цилиндра ( S_{\text{цилиндр}} ) вычисляется по формуле:

[ S_{\text{цилиндр}} = 2\pi R h + 2\pi R^2 ]

где:

( 2\pi R h ) — площадь боковой поверхности,
( 2\pi R^2 ) — площадь оснований.

Подставим значения ( R ) и ( h ):

Сначала найдем ( 2\pi R h ):

[ 2\pi R h = 2\pi \left(\sqrt{\frac{21}{2\pi}}\right) \left(\sqrt{\frac{42}{\pi}}\right) ]

Упрощаем:

[ = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{21 \cdot 42}{2\pi^2}} = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{882}{2\pi^2}} = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{882}}{\sqrt{2}\pi} = \frac{2\sqrt{882}}{\sqrt{2}} = \sqrt{441} = 21 ]

Теперь найдем ( 2\pi R^2 ):

[ 2\pi R^2 = 2\pi \left(\sqrt{\frac{21}{2\pi}}\right)^2 = 2\pi \cdot \frac{21}{2\pi} = 21 ]

Шаг 5: Сложим найденные площади

Теперь сложим все части:

[ S_{\text{цилиндр}} = 2\pi R h + 2\pi R^2 = 21 + 21 = 42 ]

Ответ:

Площадь полной поверхности цилиндра равна 42.

Question 2

шар вписан в цилиндр . Площадь поверхности шара равна 42. Найди площадь полной поверхности цилиндра

Answer

Давайте решим задачу шаг за шагом. ### Дано: - Площадь поверхности шара \( S_{\text{шар}} = 42 \). ### Шаг 1: Найдем радиус шара Формула для площади поверхности сферы (шара) выглядит следующим образом: \[ S_{\text{шар}} = 4\pi r^2 \] где \( r \) — радиус шара. Мы знаем, что: \[ 4\pi r^2 = 42 \] Делим обе стороны на \( 4\pi \): \[ r^2 = \frac{42}{4\pi} \] \[ r^2 = \frac{21}{2\pi} \] Теперь извлечем корень из обеих сторон, чтобы найти радиус \( r \): \[ r = \sqrt{\frac{21}{2\pi}} \] ### Шаг 2: Найдем высоту цилиндра Поскольку шар вписан в цилиндр, высота цилиндра \( h \) будет равна диаметру шара. Диаметр шара \( d \) может быть найден как: \[ d = 2r \] где \( r \) — это радиус шара, который мы нашли ранее. Следовательно, \[ h = 2r = 2\sqrt{\frac{21}{2\pi}} = \frac{2\sqrt{21}}{\sqrt{2\pi}} = \frac{2\sqrt{21} \sqrt{2}}{2\sqrt{\pi}} = \frac{\sqrt{42}}{\sqrt{\pi}} = \sqrt{\frac{42}{\pi}} \] ### Шаг 3: Найдем радиус основания цилиндра Радиус основания \( R \) цилиндра равен радиусу шара \( r \): \[ R = r = \sqrt{\frac{21}{2\pi}} \] ### Шаг 4: Найдем площадь полной поверхности цилиндра Площадь полной поверхности цилиндра \( S_{\text{цилиндр}} \) вычисляется по формуле: \[ S_{\text{цилиндр}} = 2\pi R h + 2\pi R^2 \] где: - \( 2\pi R h \) — площадь боковой поверхности, - \( 2\pi R^2 \) — площадь оснований. Подставим значения \( R \) и \( h \): 1. Сначала найдем \( 2\pi R h \): \[ 2\pi R h = 2\pi \left(\sqrt{\frac{21}{2\pi}}\right) \left(\sqrt{\frac{42}{\pi}}\right) \] Упрощаем: \[ = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{21 \cdot 42}{2\pi^2}} = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{882}{2\pi^2}} = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{882}}{\sqrt{2}\pi} = \frac{2\sqrt{882}}{\sqrt{2}} = \sqrt{441} = 21 \] 2. Теперь найдем \( 2\pi R^2 \): \[ 2\pi R^2 = 2\pi \left(\sqrt{\frac{21}{2\pi}}\right)^2 = 2\pi \cdot \frac{21}{2\pi} = 21 \] ### Шаг 5: Сложим найденные площади Теперь сложим все части: \[ S_{\text{цилиндр}} = 2\pi R h + 2\pi R^2 = 21 + 21 = 42 \] ### Ответ: Площадь полной поверхности цилиндра равна 42.