шар вписан в цилиндр . Площадь поверхности шара равна 42. Найди площадь полной поверхности цилиндра
Давайте решим задачу шаг за шагом.
Дано:
- Площадь поверхности шара \( S_{\text{шар}} = 42 \).
Шаг 1: Найдем радиус шара
Формула для площади поверхности сферы (шара) выглядит следующим образом:
\[ S_{\text{шар}} = 4\pi r^2 \]
где \( r \) — радиус шара.
Мы знаем, что:
\[ 4\pi r^2 = 42 \]
Делим обе стороны на \( 4\pi \):
\[ r^2 = \frac{42}{4\pi} \]
\[ r^2 = \frac{21}{2\pi} \]
Теперь извлечем корень из обеих сторон, чтобы найти радиус \( r \):
\[ r = \sqrt{\frac{21}{2\pi}} \]
Шаг 2: Найдем высоту цилиндра
Поскольку шар вписан в цилиндр, высота цилиндра \( h \) будет равна диаметру шара. Диаметр шара \( d \) может быть найден как:
\[ d = 2r \]
где \( r \) — это радиус шара, который мы нашли ранее.
Следовательно,
\[ h = 2r = 2\sqrt{\frac{21}{2\pi}} = \frac{2\sqrt{21}}{\sqrt{2\pi}} = \frac{2\sqrt{21} \sqrt{2}}{2\sqrt{\pi}} = \frac{\sqrt{42}}{\sqrt{\pi}} = \sqrt{\frac{42}{\pi}} \]
Шаг 3: Найдем радиус основания цилиндра
Радиус основания \( R \) цилиндра равен радиусу шара \( r \):
\[ R = r = \sqrt{\frac{21}{2\pi}} \]
Шаг 4: Найдем площадь полной поверхности цилиндра
Площадь полной поверхности цилиндра \( S_{\text{цилиндр}} \) вычисляется по формуле:
\[ S_{\text{цилиндр}} = 2\pi R h + 2\pi R^2 \]
где:
- \( 2\pi R h \) — площадь боковой поверхности,
- \( 2\pi R^2 \) — площадь оснований.
Подставим значения \( R \) и \( h \):
- Сначала найдем \( 2\pi R h \):
\[ 2\pi R h = 2\pi \left(\sqrt{\frac{21}{2\pi}}\right) \left(\sqrt{\frac{42}{\pi}}\right) \]
Упрощаем:
\[ = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{21 \cdot 42}{2\pi^2}} = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{882}{2\pi^2}} = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{882}}{\sqrt{2}\pi} = \frac{2\sqrt{882}}{\sqrt{2}} = \sqrt{441} = 21 \]
- Теперь найдем \( 2\pi R^2 \):
\[ 2\pi R^2 = 2\pi \left(\sqrt{\frac{21}{2\pi}}\right)^2 = 2\pi \cdot \frac{21}{2\pi} = 21 \]
Шаг 5: Сложим найденные площади
Теперь сложим все части:
\[ S_{\text{цилиндр}} = 2\pi R h + 2\pi R^2 = 21 + 21 = 42 \]
Ответ:
Площадь полной поверхности цилиндра равна 42.
