Для решения задачи, давайте сначала разберем условия.
1. Определяем последовательность рекуррентным способом
Дано:
- Первый член последовательности ( a_1 = 3 ).
- Каждый следующий член больше предыдущего на 8.
Следовательно, можно записать рекуррентную формулу следующим образом:
[
a_n = a_{n-1} + 8 \quad \text{(для } n > 1\text{)}
]
Итак, рекуррентная последовательность будет выглядеть так:
- ( a_1 = 3 )
- ( a_2 = a_1 + 8 = 3 + 8 = 11 )
- ( a_3 = a_2 + 8 = 11 + 8 = 19 )
- ( a_4 = a_3 + 8 = 19 + 8 = 27 )
- И так далее...
Итак, мы зафиксировали рекуррентное определение:
[
\begin{cases}
a_1 = 3 \
a_n = a_{n-1} + 8 \quad \text{для } n > 1
\end{cases}
]
2. Определяем последовательность формулой n-го члена
Теперь найдём общий вид n-го члена последовательности.
Мы знаем, что:
- Первый член ( a_1 = 3 )
- Каждый последующий член увеличивается на 8.
Можно заметить, что последовательность ( a_n ) является арифметической прогрессией, где:
- Первый член ( a_1 = 3 )
- Разность ( d = 8 )
Формула n-го члена для арифметической прогрессии записывается так:
[
a_n = a_1 + (n - 1) \times d
]
Подставляя значения, получаем:
[
a_n = 3 + (n - 1) \times 8
]
Упрощая это выражение:
[
a_n = 3 + 8n - 8
]
[
a_n = 8n - 5
]
Ответ:
Таким образом, формула для n-го члена последовательности:
[
a_n = 8n - 5
]
Таким образом, мы получили обе формы определения последовательности: рекуррентную и формулу n-го члена. Если есть дополнительные вопросы или нужно пояснить конкретный шаг, не стесняйтесь спрашивать!
