В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна её боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если известно, что площадь основания пирамиды равна √3…

Для решения данной задачи начнем с описания правильной треугольной пирамиды и необходимых формул.

1. Определим основные параметры.
   В правильной треугольной пирамиде основание - правильный треугольник, а боковые ребра равны сторонам основания.

   Пусть:

   • \( S_{осн} \) — площадь основания,
   • \( a \) — сторона основания и боковое ребро.

   У нас дано, что площадь основания \( S_{осн} = \sqrt{3} \, \text{см}^2 \).

2. Найдём длину стороны основания.
   Формула для нахождения площади правильного треугольника через сторону \( a \) выглядит так: \[ S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \] Подставляя известное значение площади: \[ \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \] Умножим обе стороны на 4: \[ 4\sqrt{3} = \sqrt{3} a^2 \] Разделим на \( \sqrt{3} \) (предположим, что \( a \neq 0 \)): \[ 4 = a^2 \] Извлечём квадратный корень: \[ a = 2 \, \text{см} \]

3. Вычислим высоту боковой грани.
   Боковые грани пирамиды — это равнобедренные треугольники, где их основание равно \( a \) (сторона основания), а боковые ребра также равны \( a \).

   Высота боковой грани \( h \) может быть найдена из соотношения, где \( h \) — высота равнобедренного треугольника, основание которого равно \( a \), а стороны — \( a \).

   Поскольку треугольник равнобедренный, высота делит основание на две равные части по \( \frac{a}{2} \). Используем теорему Пифагора: \[ h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2 \] Подставляем \( a = 2 \): \[ h^2 + \left(\frac{2}{2}\right)^2 = 2^2 \] Упростим: \[ h^2 + 1 = 4 \] \[ h^2 = 3 \quad \Rightarrow \quad h = \sqrt{3} \, \text{см} \]

4. Находим площадь боковой грани.
   Площадь одной боковой грани (равнобедренного треугольника) вычисляется по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot h \] Для одной боковой грани: \[ S_{боковая\,грани} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3} \, \text{см}^2 \]

5. Находим общую площадь боковой поверхности.
   В пирамиде три боковые грани, поэтому общая площадь боковой поверхности: \[ S_{бок.поверхности} = 3 \cdot S_{боковая\,грани} = 3 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \, \text{см}^2 \]

Итак, площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды составляет \( 3\sqrt3 \, \text{см}^2 \).