В вершинах правильного четырёхугольника со стороной а=3 см поочерёдно расположены точечные заряды +Q , +2Q , −Q , −2Q . Какова сила, действующая на заряд +Q , находящийся в центре…
В вершинах правильного четырёхугольника со стороной а=3 см поочерёдно расположены точечные заряды +Q, +2Q, −Q, −2Q. Какова сила, действующая на заряд +Q, находящийся в центре четырёхугольника на пересечении его диагоналей, если Q=2,5 нКл?
Для решения этой задачи мы будем использовать закон Кулона, который описывает силу взаимодействия между электрическими зарядами.
Дано:
- Сторона квадрата \( a = 3 \) см.
- Заряды в вершинах:
- \( +Q \) (в вершине A),
- \( +2Q \) (в вершине B),
- \( -Q \) (в вершине C),
- \( -2Q \) (в вершине D).
- Значение \( Q = 2.5 \) нКл = \( 2.5 \times 10^{-9} \) Кл.
- Нам нужно найти силу, действующую на заряд \( +Q \), находящийся в центре квадрат.
Шаг 1: Находим координаты зарядов
Рассмотрим квадраты, расположенные в координатной системе:
- \( A(1.5, 1.5) \) с зарядом \( +Q \)
- \( B(1.5, -1.5) \) с зарядом \( +2Q \)
- \( C(-1.5, -1.5) \) с зарядом \( -Q \)
- \( D(-1.5, 1.5) \) с зарядом \( -2Q \)
Центр квадрата (точка расположения заряда \( +Q \)), находится в начале координат \( O(0,0) \).
Шаг 2: Находим расстояния до центров
Расстояние от центра до каждой вершины квадрата (например, от \( O(0,0) \) до \( A(1.5, 1.5) \)): \[ r = \sqrt{(1.5 - 0)^2 + (1.5 - 0)^2} = \sqrt{1.5^2 + 1.5^2} = \sqrt{4.5} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \text{ см} \approx 2.12 \text{ см} = 0.0212 \text{ м} \]
Шаг 3: Закон Кулона
Сила между двумя зарядами определяется по формуле: \[ F = k \cdot \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2} \] где \( k \) – электрическая постоянная \( 8.99 \times 10^9 \, \text{Н·м}^2/\text{Кл}^2 \).
Шаг 4: Считаем силы от каждого заряда в центр
1. Сила от заряда \( +Q \) (A): \[ F_{A} = k \cdot \frac{|Q \cdot Q|}{r^2} = 8.99 \times 10^9 \cdot \frac{(2.5 \times 10^{-9})^2}{(0.0212)^2} \approx 5.242 \text{ Н} \] Направление: вдоль радиуса к центру, но так как заряды одинаковые, сила от него будет направлена в сторону центра.
2. Сила от заряда \( +2Q \) (B): \[ F_{B} = k \cdot \frac{|2Q \cdot Q|}{r^2} = 8.99 \times 10^9 \cdot \frac{(5 \times 10^{-9})^2}{(0.0212)^2} \approx 20.973 \text{ Н} \] Направление: тоже к центру.
3. Сила от заряда \( -Q \) (C): \[ F_{C} = k \cdot \frac{|(-Q) \cdot Q|}{r^2} = 8.99 \times 10^9 \cdot \frac{(-2.5 \times 10^{-9})^2}{(0.0212)^2} \approx -5.242 \text{ Н} \] Направление: от центра.
4. Сила от заряда \( -2Q \) (D): \[ F_{D} = k \cdot \frac{|(-2Q) \cdot Q|}{r^2} = 8.99 \times 10^9 \cdot \frac{(-5 \times 10^{-9})^2}{(0.0212)^2} \approx -20.973 \text{ Н} \] Направление: тоже от центра.
Шаг 5: Суммируем все силы
Теперь суммируем силы, учитывая их направления:
- Сила от \( +Q \) и \( +2Q \) работает на центр (положительная)
- Сила от \( -Q \) и \( -2Q \) работает от центра (отрицательная)
Общая сила: \[ F_{total} = F_{A} + F_{B} - F_{C} - F_{D} = 5.242 + 20.973 - 5.242 - 20.973 = 0 \]
Ответ
Сила, действующая на заряд \( +Q \) в центре квадрата, равна нулю. Это связано с тем, что силы, действующие на его разные углы, взаимно компенсируют друг друга.
Обсуждение
2 сообщенияДве одинаковых металлических дробинки массой по m=4,5 г каждая находятся в одной точке подвеса на тонких ниточках длиной L. Когда каждому шарику сообщили количество электронов, равное Ne=5×10^12, они разошлись, и нити образовали угол α= 90∘. Какова длина каждой ниточки L?
Чтобы решить задачу о длине нити, когда два одинаковых металлических шарика, имеющие отрицательный заряд, расходятся под углом \( \alpha = 90^\circ \), нам нужно использовать законы электростатики и механики.
Дано:
- Масса каждого шарика \( m = 4.5 \) г = \( 4.5 \times 10^{-3} \) кг.
- Количество электронов, сообщенное шарикам \( N_e = 5 \times 10^{12} \).
- Заряд одного электрона \( e \approx 1.6 \times 10^{-19} \) Кл.
Шаг 1: Находим заряд шариков
Общий заряд на каждом шарике: \[ Q = N_e \cdot e = (5 \times 10^{12}) \cdot (1.6 \times 10^{-19}) = 8 \times 10^{-7} \text{ Кл} \]
Шаг 2: Сили взаимного отталкивания
При равнопланарном расположении шариков под углом \( \alpha = 90^\circ \):
- Расстояние между центрами шариков \( d \) можно выразить как: \[ d = L \sqrt{2} \] где \( L \) — длина нити.
Сила отталкивания между двумя зарядами, согласно закону Кулона: \[ F = k \cdot \frac{Q^2}{d^2} \] где \( k \approx 8.99 \times 10^9 \, \text{Н·м}^2/\text{Кл}^2 \).
Подставим \( d = L \sqrt{2} \): \[ F = k \cdot \frac{Q^2}{(L \sqrt{2})^2} = k \cdot \frac{Q^2}{2L^2} \]
Шаг 3: Сила тяжести
Сила тяжести, действующая на каждый шарик: \[ F_g = m \cdot g \] где \( g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2 \). Так как каждый шарик имеет массу \( m \): \[ F_g = (4.5 \times 10^{-3}) \cdot 9.81 \approx 0.044145 \text{ Н} \]
Шаг 4: Уравновешиваем силы
В состоянии равновесия, силы отталкивания равны силе тяжести: \[ k \cdot \frac{Q^2}{2L^2} = m \cdot g \]
Подставляем все известные величины: \[ 8.99 \times 10^9 \cdot \frac{(8 \times 10^{-7})^2}{2L^2} = 0.044145 \]
Шаг 5: Решаем уравнение
Решим уравнение для \( L \): \[ \frac{8.99 \times 10^9 \cdot 64 \times 10^{-14}}{2L^2} = 0.044145 \] \[ \frac{5.75536 \times 10^{-5}}{2L^2} = 0.044145 \] \[ \frac{5.75536 \times 10^{-5}}{0.044145} = 2L^2 \] \[ L^2 = \frac{5.75536 \times 10^{-5}}{2 \cdot 0.044145} \] \[ L^2 \approx \frac{5.75536 \times 10^{-5}}{0.08829} \approx 6.51 \times 10^{-4} \] \[ L \approx \sqrt{6.51 \times 10^{-4}} \approx 0.0255 \text{ м} \approx 2.55 \text{ см} \]
Ответ
Длиной каждой нити является примерно \( L \approx 2.55 \) см.
