Дана окружность с центром О в радиусом 9 и точка С (см. рис. 156). Прямые АС и СВ касаются окружности в точках А и В. Найдите ОС, если угол ВСО - 45°.

Для решения задачи начнем с того, что нарисуем схему, отражающую все указанные элементы (окружность, точки, радиусы и углы). 1. **Определение параметров задачи**: - Радиус окружности \( r = 9 \). - Точка \( O \) — центр окружности. - Точка \( C \) — произвольная точка вне окружности. - Прямые \( AC \) и \( BC \) касаются окружности в точках \( A \) и \( B \) соответственно. - Угол \( \angle BCO = 45^\circ \). 2. **Свойства касательных**: - Отметим, что касательные к кругу из внешней точки (в данном случае точки \( C \)) равны между собой. То есть \( AC = BC \). 3. **Использование треугольников**: - Рассмотрим треугольник \( OAC \) и \( OBC \). Эти два треугольника являются равнобедренными, так как OA и OB — радиусы окружности. - Поскольку \( OA = OB = 9 \) и \( AC = BC \), мы можем обозначить длину касательной (к примеру \( AC = BC = x \)). 4. **Нахождение отношения сторон через угол**: - Поскольку угол \( \angle BCO = 45^\circ \), то в треугольнике \( BOC \) мы можем использовать тангенс и свойства треугольников. Но сначала можно рассмотреть прямоугольный треугольник \( AOC \) (или \( BOC \)). - Из точки \( C \) проведем перпендикуляр к \( O \) и обозначим точку пересечения как \( D \). Треугольник \( ODC \) — прямоугольный, где \( OD = r = 9 \), а угол \( \angle ODC = 45^\circ \). 5. **Применим теорему тангенсов**: - В \( \triangle ODC \) тангенс угла можно выразить так: \[ \tan(45^\circ) = \frac{OD}{DC} = 1 \implies OD = DC \implies DC = 9. \] - Таким образом, \( OC = OD + DC = 9 + 9 = 18 \). Итак, находим: \[ OC = 18. \] 6. **Ответ**: \( OC \) равен 18.