Дана окружность с центром О в радиусом 9 и точка С (см. рис. 156). Прямые АС и СВ касаются окружности в точках А и В. Найдите ОС, если угол ВСО - 45°.

Для решения задачи начнем с того, что нарисуем схему, отражающую все указанные элементы (окружность, точки, радиусы и углы).

1. Определение параметров задачи:

   • Радиус окружности \( r = 9 \).
   • Точка \( O \) — центр окружности.
   • Точка \( C \) — произвольная точка вне окружности.
   • Прямые \( AC \) и \( BC \) касаются окружности в точках \( A \) и \( B \) соответственно.
   • Угол \( \angle BCO = 45^\circ \).

2. Свойства касательных:

   • Отметим, что касательные к кругу из внешней точки (в данном случае точки \( C \)) равны между собой. То есть \( AC = BC \).

3. Использование треугольников:

   • Рассмотрим треугольник \( OAC \) и \( OBC \). Эти два треугольника являются равнобедренными, так как OA и OB — радиусы окружности.
   • Поскольку \( OA = OB = 9 \) и \( AC = BC \), мы можем обозначить длину касательной (к примеру \( AC = BC = x \)).

4. Нахождение отношения сторон через угол:

   • Поскольку угол \( \angle BCO = 45^\circ \), то в треугольнике \( BOC \) мы можем использовать тангенс и свойства треугольников. Но сначала можно рассмотреть прямоугольный треугольник \( AOC \) (или \( BOC \)).
   • Из точки \( C \) проведем перпендикуляр к \( O \) и обозначим точку пересечения как \( D \). Треугольник \( ODC \) — прямоугольный, где \( OD = r = 9 \), а угол \( \angle ODC = 45^\circ \).

5. Применим теорему тангенсов:

   • В \( \triangle ODC \) тангенс угла можно выразить так: \[ \tan(45^\circ) = \frac{OD}{DC} = 1 \implies OD = DC \implies DC = 9. \]
   • Таким образом, \( OC = OD + DC = 9 + 9 = 18 \).

Итак, находим: \[ OC = 18. \]

6. Ответ: \( OC \) равен 18.