Чтобы решить задачу о вероятности того, что все буквы "а" окажутся на своих местах после случайного перемешивания букв слова "авантюристка", давайте разберемся пошагово.
Шаг 1: Найдем слово и его буквы
Слово "авантюристка" состоит из 12 букв. Посмотрим, какие буквы в этом слове и как они распределены:
- а: 2
- в: 1
- н: 1
- т: 1
- ю: 1
- р: 1
- и: 1
- с: 1
- к: 1
Таким образом, мы видим, что у нас 2 буквы "а" и 10 других букв.
Шаг 2: Подсчитаем общее количество перестановок букв
Общее количество способов переставить все буквы слова "авантюристка" (не учитывая, что "а" должны оставаться на своих местах) можно рассчитать по формуле для перестановок с повторениями:
[
N = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot ... \cdot n_k!}
]
где ( n ) — общее количество букв, ( n_1, n_2, ..., n_k ) — количество одинаковых букв. В нашем случае:
- ( n = 12 ) (всего букв)
- ( n_1 = 2 ) (буквы "а")
- ( n_2, n_3, ..., n_k = 1 ) (все остальные буквы)
Подсчитываем:
[
N = \frac{12!}{2! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{12!}{2!} = \frac{479001600}{2} = 239500800
]
Шаг 3: Подсчитаем количество благоприятных исходов
Теперь определим, сколько способов расположить буквы, чтобы обе буквы "а" оставались на своих местах. В этом случае можем зафиксировать буквы "а" на своих местах и перемешать оставшиеся 10 букв.
Количество перестановок остальных букв (всего 10 букв) будет равно ( 10! ):
[
10! = 3628800
]
Шаг 4: Подсчитаем вероятность
Теперь у нас есть общее количество перестановок букв и количество благоприятных исходов. Вероятность того, что обе буквы "а" остаются на своих местах, будет равна:
[
P = \frac{\text{количество благоприятных исходов}}{\text{общее количество исходов}} = \frac{10!}{\frac{12!}{2!}} = \frac{3628800}{239500800}
]
Можно упростить это выражение:
[
P = \frac{1}{66}
]
Ответ
Вероятность того, что обе буквы "а" окажутся на своих местах после случайного перемешивания букв слова "авантюристка", составляет ( \frac{1}{66} ) или примерно 0,01515 (или 1,515 %).
