Давайте решим обе системы уравнений по порядку и выясним, есть ли у них решения и если да, то сколько.
Задача a)
Система уравнений:
- ( x + 2y = 6 )
- ( x - y = 4 )
Шаг 1: Выразим одно из переменных.
Я возьму второе уравнение и выражу ( x ) через ( y ):
[
x = y + 4
]
Шаг 2: Подставим это выражение во первое уравнение.
Теперь подставим найденное значение ( x ) в первое уравнение:
[
(y + 4) + 2y = 6
]
Шаг 3: Упростим уравнение.
Соберем все как можно проще:
[
y + 4 + 2y = 6 \
3y + 4 = 6
]
Теперь вычтем 4 из обеих сторон:
[
3y = 6 - 4 \
3y = 2
]
Теперь разделим обе стороны на 3:
[
y = \frac{2}{3}
]
Шаг 4: Найдем значение ( x ).
Теперь подставим ( y ) обратно, чтобы найти ( x ):
[
x = y + 4 = \frac{2}{3} + 4 = \frac{2}{3} + \frac{12}{3} = \frac{14}{3}
]
Ответ:
Система уравнений имеет одно решение:
[
x = \frac{14}{3}, \quad y = \frac{2}{3}
]
Задача 6)
Система уравнений:
- ( 3x + 2y = 6 )
- ( x - 2y = 4 )
Шаг 1: Выразим ( x ) через ( y ) из второго уравнения.
[
x = 2y + 4
]
Шаг 2: Подставим это выражение в первое уравнение.
Теперь подставим найденное значение ( x ) в первое уравнение:
[
3(2y + 4) + 2y = 6
]
Шаг 3: Упростим уравнение.
Раскроем скобки:
[
6y + 12 + 2y = 6 \
8y + 12 = 6
]
Теперь вычтем 12 из обеих сторон:
[
8y = 6 - 12 \
8y = -6
]
Теперь разделим обе стороны на 8:
[
y = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}
]
Шаг 4: Найдем значение ( x ).
Теперь подставим ( y ) обратно, чтобы найти ( x ):
[
x = 2(-\frac{3}{4}) + 4 = -\frac{3}{2} + 4 = -\frac{3}{2} + \frac{8}{2} = \frac{5}{2}
]
Ответ:
Система уравнений также имеет одно решение:
[
x = \frac{5}{2}, \quad y = -\frac{3}{4}
]
Резюме:
Обе системы имеют по одному решению.
