Имеет ли система решение и если имеет, то сколько? a) x + 2y = 6 ,\\ x-y=4; 6) 3x + 2y = 6 ,\\ x-2y=4;
Давайте решим обе системы уравнений по порядку и выясним, есть ли у них решения и если да, то сколько.
Задача a)
Система уравнений:
- \( x + 2y = 6 \)
- \( x - y = 4 \)
Шаг 1: Выразим одно из переменных. Я возьму второе уравнение и выражу \( x \) через \( y \): \[ x = y + 4 \]
Шаг 2: Подставим это выражение во первое уравнение. Теперь подставим найденное значение \( x \) в первое уравнение: \[ (y + 4) + 2y = 6 \]
Шаг 3: Упростим уравнение. Соберем все как можно проще: \[ y + 4 + 2y = 6 \\ 3y + 4 = 6 \] Теперь вычтем 4 из обеих сторон: \[ 3y = 6 - 4 \\ 3y = 2 \] Теперь разделим обе стороны на 3: \[ y = \frac{2}{3} \]
Шаг 4: Найдем значение \( x \). Теперь подставим \( y \) обратно, чтобы найти \( x \): \[ x = y + 4 = \frac{2}{3} + 4 = \frac{2}{3} + \frac{12}{3} = \frac{14}{3} \]
Ответ: Система уравнений имеет одно решение: \[ x = \frac{14}{3}, \quad y = \frac{2}{3} \]
Задача 6)
Система уравнений:
- \( 3x + 2y = 6 \)
- \( x - 2y = 4 \)
Шаг 1: Выразим \( x \) через \( y \) из второго уравнения. \[ x = 2y + 4 \]
Шаг 2: Подставим это выражение в первое уравнение. Теперь подставим найденное значение \( x \) в первое уравнение: \[ 3(2y + 4) + 2y = 6 \]
Шаг 3: Упростим уравнение. Раскроем скобки: \[ 6y + 12 + 2y = 6 \\ 8y + 12 = 6 \] Теперь вычтем 12 из обеих сторон: \[ 8y = 6 - 12 \\ 8y = -6 \] Теперь разделим обе стороны на 8: \[ y = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4} \]
Шаг 4: Найдем значение \( x \). Теперь подставим \( y \) обратно, чтобы найти \( x \): \[ x = 2(-\frac{3}{4}) + 4 = -\frac{3}{2} + 4 = -\frac{3}{2} + \frac{8}{2} = \frac{5}{2} \]
Ответ: Система уравнений также имеет одно решение: \[ x = \frac{5}{2}, \quad y = -\frac{3}{4} \]
Резюме:
Обе системы имеют по одному решению.
