Давайте найдем производные данных функций по шагам.
1) ( y = x^5 - 8x )
Для нахождения производной ( y' ) используем правило дифференцирования степенной функции.
- Производная ( x^n ) равна ( n \cdot x^{n-1} ).
- Производная ( -8x ) равна ( -8 ).
Поэтому:
[
y' = 5x^{5-1} - 8 = 5x^4 - 8.
]
2) ( y = 2x^8 + 8x^3 - 5 )
Используем то же правило для каждой части функции.
- Производная ( 2x^8 ): ( 16x^7 ) (потому что ( 2 \cdot 8 = 16 )).
- Производная ( 8x^3 ): ( 24x^2 ) (потому что ( 8 \cdot 3 = 24 )).
- Производная ( -5 ) равна 0.
Таким образом:
[
y' = 16x^7 + 24x^2.
]
3) ( y = 13x - \sqrt{x} )
Чтобы найти производную, помним, что ( \sqrt{x} = x^{1/2} ).
- Производная ( 13x ) равна 13.
- Производная ( -\sqrt{x} ) равна ( -\frac{1}{2}x^{-1/2} ) (потому что ( \frac{1}{2} \cdot x^{-1/2} )).
Итак:
[
y' = 13 - \frac{1}{2\sqrt{x}}.
]
4) ( v = \frac{1}{x} + 6x^{-4} + 3 )
Найдём производную, используя правило для деления и производные степенных функций.
- Производная ( \frac{1}{x} = x^{-1} ) равна ( -x^{-2} = -\frac{1}{x^2} ).
- Производная ( 6x^{-4} ) равна ( -24x^{-5} = -\frac{24}{x^5} ).
- Производная константы 3 равна 0.
Таким образом:
[
v' = -\frac{1}{x^2} - \frac{24}{x^5}.
]
5) ( x = -\frac{5}{x^3} - \sin x )
Представим это уравнение так, чтобы удобно было находить производную. Перепишем его в виде:
[
y = -5x^{-3} - \sin x.
]
Теперь найдем производную:
- Производная ( -5x^{-3} ) равна ( 15x^{-4} = \frac{15}{x^4} ).
- Производная ( -\sin x ) равна ( -\cos x ).
Итак:
[
y' = \frac{15}{x^4} - \cos x.
]
6) ( y = \cos x + \sqrt{x} )
Находим производные:
- Производная ( \cos x ) равна ( -\sin x ).
- Производная ( \sqrt{x} ) равна ( \frac{1}{2\sqrt{x}} ).
Таким образом:
[
y' = -\sin x + \frac{1}{2\sqrt{x}}.
]
7) ( y = 2 - 6 - 3\tan x )
Упростим:
[
y = -4 - 3\tan x.
]
Теперь находим производную:
- Производная константы ( -4 ) равна 0.
- Производная ( -3\tan x ) равна ( -3\sec^2 x ).
Следовательно:
[
y' = -3\sec^2 x.
]
Теперь у нас есть производные всех предложенных функций. Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!
