найди пожалйста частные производные z=x×e^y+x^y без группировки

Чтобы найти частные производные функции \( z = x \cdot e^y + x^y \), мы будем дифференцировать эту функцию по переменным \( x \) и \( y \), рассматривая каждую переменную отдельно.

Частная производная по \( x \)

1. Функция: \( z = x \cdot e^y + x^y \)

2. Сначала дифференцируем первый член \( x \cdot e^y \):

   • \( e^y \) считается константой при дифференцировании по \( x \).
   • Производная \( (x \cdot e^y) \) по \( x \) равна \( e^y \).

3. Теперь дифференцируем второй член \( x^y \):

   • Данная функция является степенной, и чтобы найти ее производную, используем правило дифференцирования мощности:
   • Производная \( (x^y) \) по \( x \) равна \( y \cdot x^{y-1} \).

4. Итак, складываем обе части: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = e^y + y \cdot x^{y-1} \]

Частная производная по \( y \)

1. Функция: \( z = x \cdot e^y + x^y \)

2. Сначала дифференцируем первый член \( x \cdot e^y \):

   • Здесь \( x \) считается константой.
   • Производная \( (x \cdot e^y) \) по \( y \) равна \( x \cdot e^y \).

3. Теперь дифференцируем второй член \( x^y \):

   • Используем правило для производной от функции вида \( a^u \), где \( a \) — константа, а \( u \) — переменная.
   • Производная \( (x^y) \) по \( y \) равна \( x^y \cdot \ln(x) \) (где \( \ln(x) \) — натуральный логарифм \( x \)).

4. Итак, складываем обе части: \[ \frac{\partial z}{\partial y} = x \cdot e^y + x^y \cdot \ln(x) \]

Ответ

• Частная производная по \( x \): \[ \frac{\partial z}{\partial x} = e^y + y \cdot x^{y-1} \]

• Частная производная по \( y \): \[ \frac{\partial z}{\partial y} = x \cdot e^y + x^y \cdot \ln(x) \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно подробнее объяснить какие-то этапы, не стесняйтесь спрашивать!