Найди сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 150, которые при делении на 8 дают остаток 1.

Чтобы найти сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 150, которые при делении на 8 дают остаток 1, сначала определим такие числа.

Числа, которые при делении на 8 дают остаток 1, имеют вид: \[ n = 8k + 1 \] где \( k \) – это целое неотрицательное число (0, 1, 2, ...).

Теперь найдем максимальное значение \( k \), при котором \( n \leq 150 \): \[ 8k + 1 \leq 150 \] \[ 8k \leq 149 \] \[ k \leq \frac{149}{8} \] \[ k \leq 18.625 \]

Это означает, что максимальное целое значение \( k \) равно 18. Таким образом, значения \( k \) будут от 0 до 18.

Теперь найдём все числа:

• Для \( k = 0 \): \( n = 8 \cdot 0 + 1 = 1 \)
• Для \( k = 1 \): \( n = 8 \cdot 1 + 1 = 9 \)
• Для \( k = 2 \): \( n = 8 \cdot 2 + 1 = 17 \)
• Для \( k = 3 \): \( n = 8 \cdot 3 + 1 = 25 \)
• Для \( k = 4 \): \( n = 8 \cdot 4 + 1 = 33 \)
• Для \( k = 5 \): \( n = 8 \cdot 5 + 1 = 41 \)
• Для \( k = 6 \): \( n = 8 \cdot 6 + 1 = 49 \)
• Для \( k = 7 \): \( n = 8 \cdot 7 + 1 = 57 \)
• Для \( k = 8 \): \( n = 8 \cdot 8 + 1 = 65 \)
• Для \( k = 9 \): \( n = 8 \cdot 9 + 1 = 73 \)
• Для \( k = 10 \): \( n = 8 \cdot 10 + 1 = 81 \)
• Для \( k = 11 \): \( n = 8 \cdot 11 + 1 = 89 \)
• Для \( k = 12 \): \( n = 8 \cdot 12 + 1 = 97 \)
• Для \( k = 13 \): \( n = 8 \cdot 13 + 1 = 105 \)
• Для \( k = 14 \): \( n = 8 \cdot 14 + 1 = 113 \)
• Для \( k = 15 \): \( n = 8 \cdot 15 + 1 = 121 \)
• Для \( k = 16 \): \( n = 8 \cdot 16 + 1 = 129 \)
• Для \( k = 17 \): \( n = 8 \cdot 17 + 1 = 137 \)
• Для \( k = 18 \): \( n = 8 \cdot 18 + 1 = 145 \)

Таким образом, числа, которые нужно суммировать, это: \[ 1, 9, 17, 25, 33, 41, 49, 57, 65, 73, 81, 89, 97, 105, 113, 121, 129, 137, 145 \]

Теперь найдём сумму этих чисел. Это арифметическая прогрессия, где первый член \( a = 1 \), последний член \( l = 145 \) и общее количество членов \( n = 19 \).

Сумма \( S \) арифметической прогрессии вычисляется по формуле: \[ S = \frac{n}{2} \cdot (a + l) \] Подставим значения: \[ S = \frac{19}{2} \cdot (1 + 145) \] \[ S = \frac{19}{2} \cdot 146 \] \[ S = 19 \cdot 73 \] \[ S = 1387 \]

Таким образом, сумма всех натуральных чисел, не превосходящих 150, которые при делении на 8 дают остаток 1, равна \( 1387 \).