Для решения задачи воспользуемся биномиальным распределением. Биномиальное распределение описывает число успехов в серии испытаний, где каждое испытание имеет два возможных исхода ("успех" и "неудача"). Формула биномиального распределения:
[ P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} ]
где:
- ( P(X = k) ) — вероятность того, что произойдет ровно ( k ) успехов,
- ( C_n^k ) — число сочетаний из ( n ) по ( k ), или биномиальный коэффициент,
- ( p ) — вероятность успеха в одном испытании,
- ( n ) — общее число испытаний,
- ( k ) — число успешных испытаний.
Условия задачи:
- ( n = 10 ) испытаний (10 бросков),
- вероятность успеха на одно испытание ( p = 0,8 ),
- нас интересует вероятность того, что Олег попадет ровно 5 раз, то есть ( k = 5 ).
Шаги решения:
- Найдем биномиальный коэффициент ( C_{10}^5 ):
[ C_{10}^5 = \frac{10!}{5! \times (10-5)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252 ]
- Подставим значения в формулу биномиального распределения:
[ P(X = 5) = C_{10}^5 \times 0,8^5 \times (1-0,8)^{10-5} ]
- Вычислим значения:
[ P(X = 5) = 252 \times 0,8^5 \times 0,2^5 ]
- Рассчитаем ( 0,8^5 ) и ( 0,2^5 ):
[ 0,8^5 = 0,32768 ]
[ 0,2^5 = 0,00032 ]
- Подставим и умножим:
[ P(X = 5) = 252 \times 0,32768 \times 0,00032 ]
[ P(X = 5) \approx 0,0264 ]
Ответ: Вероятность того, что Олег попадет в корзину ровно 5 раз из 10 бросков, составляет примерно ( 0,0264 ) или 2,64%.
