√40•60•75

Разберем задачу: необходимо найти значение выражения √40•60•75. Начнем с пошагового решения. ### Шаг 1: Упрощение выражения Сначала обработаем подкоренные выражения отдельно. Мы можем представить каждое число как произведение простых множителей: - **40** = 4 × 10 = 4 × (2 × 5) = 2² × 2 × 5 = 2³ × 5 - **60** = 6 × 10 = (2 × 3) × (2 × 5) = 2² × 3 × 5 - **75** = 3 × 25 = 3 × (5 × 5) = 3 × 5² Теперь мы можем записать произведение всех трех чисел: \[ \sqrt{40 \cdot 60 \cdot 75} = \sqrt{(2^3 \cdot 5) \cdot (2^2 \cdot 3 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 5^2)} \] ### Шаг 2: Объединение множителей Теперь объединим все множители в одном произведении: \[ 40 \cdot 60 \cdot 75 = (2^3 \cdot 5) \cdot (2^2 \cdot 3 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 5^2) \] Считаем количество каждого множителя: - Множитель 2: \( 2^3 \cdot 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 \) - Множитель 3: \( 3^1 \cdot 3^1 = 3^{1+1} = 3^2 \) - Множитель 5: \( 5^1 \cdot 5^1 \cdot 5^2 = 5^{1+1+2} = 5^4 \) Таким образом, мы можем переписать произведение: \[ 40 \cdot 60 \cdot 75 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 5^4 \] ### Шаг 3: Взятие корня Теперь найдем квадратный корень: \[ \sqrt{40 \cdot 60 \cdot 75} = \sqrt{2^5 \cdot 3^2 \cdot 5^4} \] Для извлечения корня из произведения, извлекаем корень из каждого множителя: - Из \( 2^5 \): \( \sqrt{2^5} = 2^{5/2} = 2^2 \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2} \) - Из \( 3^2 \): \( \sqrt{3^2} = 3 \) - Из \( 5^4 \): \( \sqrt{5^4} = 5^{4/2} = 5^2 = 25 \) Теперь можем собрать все это вместе: \[ \sqrt{40 \cdot 60 \cdot 75} = 4\sqrt{2} \cdot 3 \cdot 25 \] ### Шаг 4: Упрощение окончательного выражения Теперь произведем оставшиеся действия: \[ 4 \cdot 3 \cdot 25 \cdot \sqrt{2} = 12 \cdot 25 \cdot \sqrt{2} = 300\sqrt{2} \] ### Итог Таким образом, окончательный ответ на задачу: \[ \sqrt{40 \cdot 60 \cdot 75} = 300\sqrt{2} \] Это дает нам точное значение, которое мы искали. Если потребуется, можно подставить значение \(\sqrt{2} \approx 1.41\) для получения приближенного численного результата.