√40•60•75
Разберем задачу: необходимо найти значение выражения √40•60•75. Начнем с пошагового решения.
Шаг 1: Упрощение выражения
Сначала обработаем подкоренные выражения отдельно. Мы можем представить каждое число как произведение простых множителей:
- 40 = 4 × 10 = 4 × (2 × 5) = 2² × 2 × 5 = 2³ × 5
- 60 = 6 × 10 = (2 × 3) × (2 × 5) = 2² × 3 × 5
- 75 = 3 × 25 = 3 × (5 × 5) = 3 × 5²
Теперь мы можем записать произведение всех трех чисел:
\[ \sqrt{40 \cdot 60 \cdot 75} = \sqrt{(2^3 \cdot 5) \cdot (2^2 \cdot 3 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 5^2)} \]
Шаг 2: Объединение множителей
Теперь объединим все множители в одном произведении:
\[ 40 \cdot 60 \cdot 75 = (2^3 \cdot 5) \cdot (2^2 \cdot 3 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 5^2) \]
Считаем количество каждого множителя:
- Множитель 2: \( 2^3 \cdot 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 \)
- Множитель 3: \( 3^1 \cdot 3^1 = 3^{1+1} = 3^2 \)
- Множитель 5: \( 5^1 \cdot 5^1 \cdot 5^2 = 5^{1+1+2} = 5^4 \)
Таким образом, мы можем переписать произведение:
\[ 40 \cdot 60 \cdot 75 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 5^4 \]
Шаг 3: Взятие корня
Теперь найдем квадратный корень:
\[ \sqrt{40 \cdot 60 \cdot 75} = \sqrt{2^5 \cdot 3^2 \cdot 5^4} \]
Для извлечения корня из произведения, извлекаем корень из каждого множителя:
- Из \( 2^5 \): \( \sqrt{2^5} = 2^{5/2} = 2^2 \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2} \)
- Из \( 3^2 \): \( \sqrt{3^2} = 3 \)
- Из \( 5^4 \): \( \sqrt{5^4} = 5^{4/2} = 5^2 = 25 \)
Теперь можем собрать все это вместе:
\[ \sqrt{40 \cdot 60 \cdot 75} = 4\sqrt{2} \cdot 3 \cdot 25 \]
Шаг 4: Упрощение окончательного выражения
Теперь произведем оставшиеся действия:
\[ 4 \cdot 3 \cdot 25 \cdot \sqrt{2} = 12 \cdot 25 \cdot \sqrt{2} = 300\sqrt{2} \]
Итог
Таким образом, окончательный ответ на задачу:
\[ \sqrt{40 \cdot 60 \cdot 75} = 300\sqrt{2} \]
Это дает нам точное значение, которое мы искали. Если потребуется, можно подставить значение \(\sqrt{2} \approx 1.41\) для получения приближенного численного результата.
