В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 рёбра AB, AD и АА1 равны 4 см, 3 см и корень из 11 см соответственно. Найдите угол между плоскостями ABD1 и CBD1 ,Решить с помощью Многогранных углов и трёхгранных углов

Для решения данной задачи, давайте внимательно разберем, что требуется сделать. Мы должны найти угол между плоскостями \( ABD_1 \) и \( CBD_1 \) в прямоугольном параллелепипеде. 1. **Определим координаты вершин параллелепипеда.** Зафиксируем первую вершину в начале координат: - \( A (0, 0, 0) \) - \( B (4, 0, 0) \) (рифмутся на 4 см по оси x) - \( D (0, 3, 0) \) (рифмутся на 3 см по оси y) - \( A_1 (0, 0, \sqrt{11}) \) (рифмутся на \( \sqrt{11} \) см по оси z) - \( B_1 (4, 0, \sqrt{11}) \) - \( D_1 (0, 3, \sqrt{11}) \) - \( C (4, 3, 0) \) - \( C_1 (4, 3, \sqrt{11}) \) 2. **Вектора в плоскостях.** Теперь найдем вектора, которые определяют плоскости: - Плоскость \( ABD_1 \) определяется векторами \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AD_1} \): \[ \overrightarrow{AB} = (4, 0, 0) - (0, 0, 0) = (4, 0, 0) \] \[ \overrightarrow{AD_1} = (0, 3, \sqrt{11}) - (0, 0, 0) = (0, 3, \sqrt{11}) \] Плоскость \( CBD_1 \) определяется векторами \( \overrightarrow{CB} \) и \( \overrightarrow{CD_1} \): \[ \overrightarrow{CB} = (4, 0, 0) - (4, 3, 0) = (0, -3, 0) \] \[ \overrightarrow{CD_1} = (0, 3, \sqrt{11}) - (4, 3, 0) = (-4, 0, \sqrt{11}) \] 3. **Найдем нормали к плоскостям.** Чтобы найти нормали к плоскостям, воспользуемся векторным произведением. Для плоскости \( ABD_1 \): \[ \vec{n_1} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD_1} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & \sqrt{11} \end{vmatrix} = (0\cdot\sqrt{11} - 0\cdot3)\hat{i} - (4\cdot\sqrt{11} - 0\cdot0)\hat{j} + (4\cdot3 - 0\cdot0)\hat{k} = (0, -4\sqrt{11}, 12) \] Для плоскости \( CBD_1 \): \[ \vec{n_2} = \overrightarrow{CB} \times \overrightarrow{CD_1} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & -3 & 0 \\ -4 & 0 & \sqrt{11} \end{vmatrix} = (-3\cdot\sqrt{11} - 0\cdot0)\hat{i} - (0\cdot\sqrt{11} - 0\cdot-4)\hat{j} + (0\cdot0 - -3\cdot-4)\hat{k} = (-3\sqrt{11}, 0, -12) \] 4. **Найдём угол между нормалями.** Угол \( \theta \) между плоскостями можно найти через скалярное произведение нормалей: \[ \cos \theta = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} \] Сначала найдём скалярное произведение: \[ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (0)(-3\sqrt{11}) + (-4\sqrt{11})(0) + (12)(-12) = -144 \] Далее найдем длины векторов нормалей: \[ |\vec{n_1}| = \sqrt{0^2 + (-4\sqrt{11})^2 + 12^2} = \sqrt{176 + 144} = \sqrt{320} = 8\sqrt{5} \] \[ |\vec{n_2}| = \sqrt{(-3\sqrt{11})^2 + 0^2 + (-12)^2} = \sqrt{99 + 144} = \sqrt{243} = 9\sqrt{3} \] Подставляем в формулу: \[ \cos \theta = \frac{-144}{(8\sqrt{5})(9\sqrt{3})} = \frac{-144}{72\sqrt{15}} = \frac{-2}{\sqrt{15}} \] \[ \theta = \arccos\left(-\frac{2}{\sqrt{15}}\right) \] Это значение определяет угол между плоскостями \( ABD_1 \) и \( CBD_1 \). Полученный угол является искомым результатом.