В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 рёбра AB, AD и АА1 равны 4 см, 3 см и корень из 11 см соответственно. Найдите угол между плоскостями ABD1 и CBD1 ,Решить с помощью…

Для решения данной задачи, давайте внимательно разберем, что требуется сделать. Мы должны найти угол между плоскостями \( ABD_1 \) и \( CBD_1 \) в прямоугольном параллелепипеде.

1. Определим координаты вершин параллелепипеда.

   Зафиксируем первую вершину в начале координат:

   • \( A (0, 0, 0) \)
   • \( B (4, 0, 0) \) (рифмутся на 4 см по оси x)
   • \( D (0, 3, 0) \) (рифмутся на 3 см по оси y)
   • \( A_1 (0, 0, \sqrt{11}) \) (рифмутся на \( \sqrt{11} \) см по оси z)
   • \( B_1 (4, 0, \sqrt{11}) \)
   • \( D_1 (0, 3, \sqrt{11}) \)
   • \( C (4, 3, 0) \)
   • \( C_1 (4, 3, \sqrt{11}) \)

2. Вектора в плоскостях.

   Теперь найдем вектора, которые определяют плоскости:

   • Плоскость \( ABD_1 \) определяется векторами \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AD_1} \):

   \[ \overrightarrow{AB} = (4, 0, 0) - (0, 0, 0) = (4, 0, 0) \] \[ \overrightarrow{AD_1} = (0, 3, \sqrt{11}) - (0, 0, 0) = (0, 3, \sqrt{11}) \]

   Плоскость \( CBD_1 \) определяется векторами \( \overrightarrow{CB} \) и \( \overrightarrow{CD_1} \):

   \[ \overrightarrow{CB} = (4, 0, 0) - (4, 3, 0) = (0, -3, 0) \] \[ \overrightarrow{CD_1} = (0, 3, \sqrt{11}) - (4, 3, 0) = (-4, 0, \sqrt{11}) \]

3. Найдем нормали к плоскостям.

   Чтобы найти нормали к плоскостям, воспользуемся векторным произведением.

   Для плоскости \( ABD_1 \): \[ \vec{n_1} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD_1} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & \sqrt{11} \end{vmatrix} = (0\cdot\sqrt{11} - 0\cdot3)\hat{i} - (4\cdot\sqrt{11} - 0\cdot0)\hat{j} + (4\cdot3 - 0\cdot0)\hat{k} = (0, -4\sqrt{11}, 12) \]

   Для плоскости \( CBD_1 \): \[ \vec{n_2} = \overrightarrow{CB} \times \overrightarrow{CD_1} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & -3 & 0 \\ -4 & 0 & \sqrt{11} \end{vmatrix} = (-3\cdot\sqrt{11} - 0\cdot0)\hat{i} - (0\cdot\sqrt{11} - 0\cdot-4)\hat{j} + (0\cdot0 - -3\cdot-4)\hat{k} = (-3\sqrt{11}, 0, -12) \]

4. Найдём угол между нормалями.

   Угол \( \theta \) между плоскостями можно найти через скалярное произведение нормалей: \[ \cos \theta = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} \]

   Сначала найдём скалярное произведение: \[ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (0)(-3\sqrt{11}) + (-4\sqrt{11})(0) + (12)(-12) = -144 \]

   Далее найдем длины векторов нормалей: \[ |\vec{n_1}| = \sqrt{0^2 + (-4\sqrt{11})^2 + 12^2} = \sqrt{176 + 144} = \sqrt{320} = 8\sqrt{5} \] \[ |\vec{n_2}| = \sqrt{(-3\sqrt{11})^2 + 0^2 + (-12)^2} = \sqrt{99 + 144} = \sqrt{243} = 9\sqrt{3} \]

   Подставляем в формулу: \[ \cos \theta = \frac{-144}{(8\sqrt{5})(9\sqrt{3})} = \frac{-144}{72\sqrt{15}} = \frac{-2}{\sqrt{15}} \] \[ \theta = \arccos\left(-\frac{2}{\sqrt{15}}\right) \]

Это значение определяет угол между плоскостями \( ABD_1 \) и \( CBD_1 \). Полученный угол является искомым результатом.