Давайте решим задачу пошагово, начиная с определения производной функции и подстановки значения ( x_0 ).
Шаг 1: Найдем выражение для функции ( f(x) )
Итак, у нас есть функция:
[
f(x) = x^3 - (x - 2)^2
]
Шаг 2: Упростим функцию ( f(x) )
Для упрощения выражения ( (x - 2)^2 ):
[
(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4
]
Подставим это выражение в ( f(x) ):
[
f(x) = x^3 - (x^2 - 4x + 4) = x^3 - x^2 + 4x - 4
]
Теперь у нас есть:
[
f(x) = x^3 - x^2 + 4x - 4
]
Шаг 3: Найдем производную ( f'(x) )
Теперь найдем первую производную функции ( f(x) ):
[
f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(4x) - \frac{d}{dx}(4)
]
Используя правила дифференцирования, получаем:
[
f'(x) = 3x^2 - 2x + 4
]
Шаг 4: Подставим ( x_0 = 6 ) в производную
Теперь нам нужно найти значение производной ( f'(x_0) ) при ( x_0 = 6 ):
[
f'(6) = 3(6^2) - 2(6) + 4
]
Сначала вычислим ( 6^2 ):
[
6^2 = 36
]
Теперь подставим это значение:
[
f'(6) = 3(36) - 12 + 4
]
Выполним умножение:
[
f'(6) = 108 - 12 + 4
]
Теперь сложим и вычтем:
[
f'(6) = 108 - 12 = 96
]
[
96 + 4 = 100
]
Ответ
Таким образом, значение ( f'(6) ) равно ( 100 ).
