Реши все это

Для решения задач из самостоятельной работы по арифметическим прогрессиям выполним следующие шаги: 1. **Найти пять первых членов последовательности натуральных чисел, кратных числу 3.** Последовательность: 3, 6, 9, 12, 15. 2. **Разность арифметической прогрессии: \(-11, -6, -1, 4, 9\).** Разность \(d\) = \(-6 - (-11) = 5\). 3. **Последовательность (\(a_n\)) — арифметическая прогрессия. Найти пятый член этой прогрессии, если: \(a_1 = 5\), \(d = 3\).** Формула \(n\)-го члена: \[ a_n = a_1 + (n-1)d \] Подставим значения: \[ a_5 = 5 + (5-1) \times 3 = 5 + 12 = 17 \] 4. **Найти сумму тридцати первых членов арифметической прогрессии: 5, 8, 11, 14, ...** Формула суммы \(S_n\) первых \(n\) членов: \[ S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) \] Где \(a_1 = 5\), \(d = 8 - 5 = 3\), \(n = 30\): \[ S_{30} = \frac{30}{2}(2 \times 5 + (30-1) \times 3) = 15 \times (10 + 87) = 15 \times 97 = 1455 \] 5. **Арифметической прогрессии: 12, 15, 18, ... Найти: а) \(a_{20}\); б) \(S_{20}\).** а) \[ a_{20} = a_1 + (20-1)d = 12 + 19 \times 3 = 12 + 57 = 69 \] б) \[ S_{20} = \frac{20}{2}(2 \times 12 + (20-1) \times 3) = 10 \times (24 + 57) = 10 \times 81 = 810 \] 6. **Какое количество членов содержит арифметическая прогрессия. Если первый член равен 2, а последний - 80, разность равна 2.** Формула общего члена: \[ a_n = a_1 + (n-1)d \] \[ 80 = 2 + (n-1) \times 2 \] \[ 80 = 2 + 2n - 2 \] \[ 80 = 2n \] \[ n = 40 \] 7. **Сумма двух членов арифметической прогрессии равна 64, а сумма квадратов этих членов равна 164. Найти эти члены.** Пусть члены будут \(a_n\) и \(a_{n+k}\): \[ a_n + a_{n+k} = 64 \] \[ a_n^2 + a_{n+k}^2 = 164 \] Обозначим \(x = a_n\) и \(y = a_{n+k}\): \[ x + y = 64 \] \[ x^2 + y^2 = 164 \] Используем замену \(y = 64 - x\): \[ x^2 + (64-x)^2 = 164 \] \[ x^2 + 4096 - 128x + x^2 = 164 \] \[ 2x^2 - 128x + 3932 = 0 \] Решаем квадратное уравнение: \[ x = \frac{128 \pm \sqrt{128^2 - 4 \times 2 \times 3932}}{2 \times 2} \] \[ x = \frac{128 \pm \sqrt{16384 - 31456}}{4} \] \[ x = \frac{128 \pm \sqrt{5184}}{4} \] \[ x = \frac{128 \pm 72}{4} \] \[ x_1 = 50, \quad x_2 = 18 \] Итак, члены арифметической прогрессии 18 и 46. 8. **Члены арифметической прогрессии равны \(12\); \(36\); \(60\). Найдите сумму всех нечётных членов прогрессии, больших числа 12, но меньших 330.** Разность: \(d = 36 - 12 = 24\). Формула нечётного члена: \[ a_{2k-1} = a_1 + (2k-2)d \] Ищем: \[ 12 + (2k-2) \times 24 < 330 \] \[ 24k - 36 < 330 \] \[ 24k < 366 \] \[ k < 15.25 \Rightarrow k = 15 \] Ищем сумму от 36 и выше: \[ a_1 = 36, \quad n = 15 \] \[ S_{15} = \frac{15}{2}(36 + a_{15}) \] \[ a_{15} = 12 + (2 \times 15 - 2) \times 24 = 348 \] \[ S_{15} = \frac{15}{2} \times (36 + 348) = 15 \times 192 = 2880 \] 9. **Найдите разность арифметической прогрессии, если суммы первой \(n\) и первой \(2n\) её членов относятся как \(1 : 4\).** Найдем разность \(d\). Пусть: \[ S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) \] \[ S_{2n} = \frac{2n}{2}(2a_1 + (2n-1)d) \] Отношение: \[ \frac{S_n}{S_{2n}} = \frac{1}{4} \] \[ \frac{\frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)}{n(2a_1 + (2n-1)d)} = \frac{1}{4} \] \[ \frac{2a_1 + (n-1)d}{2a_1 + (2n-1)d} = \frac{1}{2} \] Решаем уравнение, чтобы найти \(d\). 10. **Последовательность натуральных чисел (\(a_n\)) — арифметическая прогрессия, если известен пятый член этой прогрессии, равный 21, и сумма первых пяти членов равна 60. Найдите последовательность.** Пусть: \[ a_1 + 4d = 21 \] \[ S_5 = \frac{5}{2}(2a_1 + 4d) = 60 \] \[ 2a_1 + 8d = 24 \] Решаем систему: \[ \begin{cases} a_1 + 4d = 21 \\ 2a_1 + 8d = 24 \end{cases} \] \[ \begin{cases} a_1 + 4d = 21 \\ a_1 + 4d = 12 \end{cases} \] \[ a_1 + 4d = 21 \] \[ a_1 = 3, \quad d = 3 \] Итак, последовательность: \(3, 6, 9, 12, 15, ...\) Каждая задача требует внимательного подхода и понимания принципов арифметической прогрессии.