Найти все первообразные e(x)x+1/2

Чтобы найти все первообразные функции \( F(x) \) для выражения \( e^x \left(x + \frac{1}{2}\right) \), нам нужно вычислить неопределённый интеграл:

\[ \int e^x \left(x + \frac{1}{2}\right) \, dx. \]

Для этого можно использовать метод интегрирования по частям. Напомним, что формула интегрирования по частям имеет вид:

\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du, \]

где \( u \) — это одна функция, которую мы выбираем, а \( dv \) — это другая.

Выберем:

• \( u = x + \frac{1}{2} \) ⇒ \( du = dx \),
• \( dv = e^x \, dx \) ⇒ \( v = e^x \).

Теперь применяем формулу интегрирования по частям:

\[ \int e^x \left(x + \frac{1}{2}\right) \, dx = \left(x + \frac{1}{2}\right)e^x - \int e^x \cdot 1 \, dx. \]

Теперь вычислим второй интеграл:

\[ \int e^x \, dx = e^x. \]

Подставим это обратно в уравнение:

\[ \int e^x \left(x + \frac{1}{2}\right) \, dx = \left(x + \frac{1}{2}\right)e^x - e^x + C, \]

где \( C \) — произвольная константа интегрирования.

Упрощаем результат:

\[ \int e^x \left(x + \frac{1}{2}\right) \, dx = (x - \frac{1}{2})e^x + C. \]

Таким образом, все первообразные функции для \( e^x \left(x + \frac{1}{2}\right) \) имеют вид:

\[ F(x) = \left(x - \frac{1}{2}\right)e^x + C, \]

где \( C \) — произвольная константа.