Чтобы найти все первообразные функции ( F(x) ) для выражения ( e^x \left(x + \frac{1}{2}\right) ), нам нужно вычислить неопределённый интеграл:
[
\int e^x \left(x + \frac{1}{2}\right) , dx.
]
Для этого можно использовать метод интегрирования по частям. Напомним, что формула интегрирования по частям имеет вид:
[
\int u , dv = uv - \int v , du,
]
где ( u ) — это одна функция, которую мы выбираем, а ( dv ) — это другая.
Выберем:
- ( u = x + \frac{1}{2} ) ⇒ ( du = dx ),
- ( dv = e^x , dx ) ⇒ ( v = e^x ).
Теперь применяем формулу интегрирования по частям:
[
\int e^x \left(x + \frac{1}{2}\right) , dx = \left(x + \frac{1}{2}\right)e^x - \int e^x \cdot 1 , dx.
]
Теперь вычислим второй интеграл:
[
\int e^x , dx = e^x.
]
Подставим это обратно в уравнение:
[
\int e^x \left(x + \frac{1}{2}\right) , dx = \left(x + \frac{1}{2}\right)e^x - e^x + C,
]
где ( C ) — произвольная константа интегрирования.
Упрощаем результат:
[
\int e^x \left(x + \frac{1}{2}\right) , dx = (x - \frac{1}{2})e^x + C.
]
Таким образом, все первообразные функции для ( e^x \left(x + \frac{1}{2}\right) ) имеют вид:
[
F(x) = \left(x - \frac{1}{2}\right)e^x + C,
]
где ( C ) — произвольная константа.
