Скорость точки движущейся прямолинейно задана уравнением v(t)=6t².Найти ее путь за 5 с от начала движения
Чтобы найти путь, пройденный точкой, движущейся прямолинейно с заданной скоростью \( v(t) = 6t^2 \), нам нужно воспользоваться уравнением, связывающим скорость и путь.
Запишем уравнение скорости: \[ v(t) = 6t^2 \]
Определение пути: Путь \( S \) можно найти, интегрируя скорость по времени: \[ S = \int v(t) \, dt \]
Подставим уравнение скорости: \[ S = \int 6t^2 \, dt \]
Выполним интегрирование: Интеграл от \( t^n \) равен \( \frac{t^{n+1}}{n+1} \). Таким образом: \[ S = 6 \cdot \frac{t^3}{3} + C = 2t^3 + C \] Здесь \( C \) — произвольная константа, которая равна нулю, если мы принимаем, что в начале пути (в момент времени \( t = 0 \)) путь был равен 0. То есть: \[ C = 0 \] Тогда у нас получается: \[ S(t) = 2t^3 \]
Теперь подставим время \( t = 5 \) секунд: \[ S(5) = 2 \cdot (5^3) \]
Вычислим: \[ S(5) = 2 \cdot 125 = 250 \]
Таким образом, путь, пройденный точкой за 5 секунд, составляет 250 метров.
