Дана точка K(-1). Определи координаты точек Ри М, таких, что РМ = 10 и KP = 3KM. Ответ: (расположи ответы в порядке возрастания координат точек Р)

Для решения задачи начнем с анализа данной информации.

1. У нас есть точка K с координатами \((-1)\).
2. Условия задачи:
   • \( PM = 10 \) (расстояние между точками P и M равно 10).
   • \( KP = 3KM \), что означает, что расстояние от K до P в три раза больше расстояния от K до M.

Обозначим координаты точек P и M:

• Пусть координата точки P равна \( p \).
• Пусть координата точки M равна \( m \).

Теперь запишем условия в виде уравнений:

Шаг 1: Записываем уравнения

1. Для расстояния KP: \[ KP = |p + 1| = 3KM \] Где \( KM = |m + 1| \).

2. Из условия \( PM = 10 \) имеем: \[ PM = |p - m| = 10. \]

Шаг 2: Параметры расстояния

Теперь подставим выражение \( KM = |m + 1| \) в первое уравнение: \[ KP = |p + 1| = 3 |m + 1|. \tag{1} \]

Шаг 3: Исследуем уравнение PM

Рассмотрим уравнение PM: \[ |p - m| = 10. \] Это уравнение можно разбить на два случая:

1. \( p - m = 10 \)
2. \( m - p = 10 \)

Шаг 4: Анализ первого случая

Случай 1: \( p - m = 10 \)

Теперь выразим \( p \) через \( m \): \[ p = m + 10. \] Подставим это значение в уравнение (1): \[ |m + 10 + 1| = 3 |m + 1| \implies |m + 11| = 3 |m + 1|. \] Это также разбивается на два подслучая:

Подслучай 1.1: \( m + 11 = 3(m + 1) \) \[ m + 11 = 3m + 3 \implies 11 - 3 = 2m \implies 2m = 8 \implies m = 4. \] Теперь находим \( p \): \[ p = m + 10 \implies p = 4 + 10 = 14. \] Таким образом, получаем координаты \( P(14) \) и \( M(4) \).

Подслучай 1.2: \( m + 11 = -3(m + 1) \) \[ m + 11 = -3m - 3 \implies m + 3m = -3 - 11 \implies 4m = -14 \implies m = -\frac{14}{4} = -3.5. \] Находим \( p \): \[ p = m + 10 \implies p = -3.5 + 10 = 6.5. \] Получаем координаты \( M(-3.5) \) и \( P(6.5) \).

Шаг 5: Анализ второго случая

Случай 2: \( m - p = 10 \)

Выразим \( m \) через \( p \): \[ m = p + 10. \] Подставляем в уравнение (1): \[ |p + 1| = 3 |(p + 10) + 1| \implies |p + 1| = 3 |p + 11|. \] Также разбиваем на два подслучая:

Подслучай 2.1: \( p + 1 = 3(p + 11) \) \[ p + 1 = 3p + 33 \implies 1 - 33 = 2p \implies 2p = -32 \implies p = -16. \] Находим \( m \): \[ m = p + 10 \implies m = -16 + 10 = -6. \] Координаты: \( P(-16) \) и \( M(-6) \).

Подслучай 2.2: \( p + 1 = -3(p + 11) \) \[ p + 1 = -3p - 33 \implies p + 3p = -33 - 1 \implies 4p = -34 \implies p = -8.5. \] Теперь найдем \( m \): \[ m = p + 10 \implies m = -8.5 + 10 = 1.5. \] Получаем координаты: \( P(-8.5) \) и \( M(1.5) \).

Шаг 6: Собираем результат

У нас есть следующие координаты для точки P:

• (14, 4)
• (6.5, -3.5)
• (-16, -6)
• (-8.5, 1.5)

Теперь упорядочим их по возрастанию:

1. \( P(-16) \)
2. \( P(-8.5) \)
3. \( P(6.5) \)
4. \( P(14) \)

Итог

Таким образом, координаты точек P расположены в порядке возрастания:

\[ \boxed{(-16, -8.5, 6.5, 14)} \]