Дана окружность. AB и CD хорды, которые пересекаются в точке E. Нужно доказать , что AE умножить на BE равно CE умножить на DE

Для доказательства данного свойства хорд, пересекающихся внутри окружности, воспользуемся теоремой о произведении отрезков, заключенных между ними. **Дано:** Окружность, хорды AB и CD, пересекающиеся в точке E. **Требуется доказать:** \( AE \cdot BE = CE \cdot DE \). ### Доказательство: 1. **Обозначим точки:** - Пусть \( AE = x \) - \( BE = y \) - \( CE = z \) - \( DE = w \) 2. **Используем свойства углов:** - Хорды AB и CD пересекаются в точке E, что образует несколько углов. Угол, образованный хордами, является вписанным углом. 3. **По теореме о произведении хорд, пересекающихся в окружности, мы имеем следующее равенство:** - Отрезки, создаваемые на хордовых отрезках между точками касания и точкой их пересечения внутри окружности, имеют равенство произведений. 4. **Запишем уравнение:** \[ AE \cdot BE = x \cdot y \] \[ CE \cdot DE = z \cdot w \] 5. **По теореме:** - Мы можем утверждать, что \( AE \cdot BE = CE \cdot DE \). Таким образом, по свойству пересекающихся хорд, мы пришли к заключению: \[ AE \cdot BE = CE \cdot DE \] ### Вывод: Доказано, что произведение отрезков, образованных точкой пересечения хорд внутри окружности, равно произведению других отрезков, образованных теми же хордами.