реши

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами подобных треугольников.

Дано:

• Периметр треугольника \( CMN = 78 \) см.
• Средняя линия \( MN \) треугольника \( ABC \) лежит на стороне \( AC \), а точка \( N \) — на стороне \( BC \).

Цель: Найти периметр треугольника \( ABC \).

Решение:

1. Понятием средней линии треугольника:

   Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон и параллельна третьей стороне. Соотношение между длиной средней линии и стороной треугольника, к которой она параллельна, равно 1:2. В данном случае \( MN \parallel AB \).

2. Свойство периметров подобных треугольников:

   Если два треугольника подобны, то отношение их периметров равно коэффициенту подобия. Поскольку \( MN \) — средняя линия, то \( \triangle CMN \sim \triangle CAB \) с коэффициентом подобия 1:2.

3. Вычисление периметра \( \triangle ABC \):

   \[ \frac{P_{CMN}}{P_{ABC}} = \frac{1}{2} \]

   Подставляем известные данные:

   \[ \frac{78}{P_{ABC}} = \frac{1}{2} \]

   Отсюда находим:

   \[ P_{ABC} = 78 \times 2 = 156 \, \text{см} \]

Таким образом, периметр треугольника \( ABC \) равен 156 см.