Вектор а{8; 10} и вектор b{-18;-2} найдите углы между ними

Чтобы найти угол между двумя векторами, можно воспользоваться формулой, основанной на скалярном произведении векторов. Формула для нахождения угла \(\theta\) между векторами \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) выглядит так:

\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} \]

где:

• \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\) — скалярное произведение векторов,
• \(|\mathbf{a}|\) и \(|\mathbf{b}|\) — длины (модуль) векторов.

Шаг 1: Найдем скалярное произведение векторов

Векторы \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 8 \\ 10 \end{pmatrix}\) и \(\mathbf{b} = \begin{pmatrix} -18 \\ -2 \end{pmatrix}\). Скалярное произведение определяется как:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 \]

Подставляя значения, получаем:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 8 \cdot (-18) + 10 \cdot (-2) = -144 - 20 = -164 \]

Шаг 2: Найдем длины векторов

Модуль вектора \(\mathbf{a}\) определяется как:

\[ |\mathbf{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} = \sqrt{8^2 + 10^2} = \sqrt{64 + 100} = \sqrt{164} \]

А модуль вектора \(\mathbf{b}\):

\[ |\mathbf{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2} = \sqrt{(-18)^2 + (-2)^2} = \sqrt{324 + 4} = \sqrt{328} \]

Шаг 3: Подставим значения в формулу

Теперь подставим полученные значения в формулу для \(\cos(\theta)\):

\[ \cos(\theta) = \frac{-164}{\sqrt{164} \cdot \sqrt{328}} \]

Для упрощения строк, давайте найдем \(\sqrt{328} = \sqrt{4 \cdot 82} = 2\sqrt{82}\). Таким образом, подставим:

\[ \cos(\theta) = \frac{-164}{\sqrt{164} \cdot 2\sqrt{82}} = \frac{-164}{2\sqrt{13448}} \]

Шаг 4: Найдем угол \(\theta\)

Теперь нам нужно найти угол \(\theta\):

\[ \theta = \arccos\left(\frac{-164}{2\sqrt{13448}}\right) \]

Для упрощения расчётов можно использовать калькулятор, чтобы вычислить этот арккосинус и, таким образом, найти угол между векторами.

Заключение

Угол между векторами можно получить в градусах или радианах в зависимости от настроек калькулятора. Важно понимать, что значение угол может варьироваться в зависимости от направления ваших векторов и их знаков.

Если есть необходимость, используйте калькулятор для нахождения конкретного угла или для дальнейших вычислений.