Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 сантиметрам. Найдите его катеты, если один из них больше другого на 4 сантиметра. ; В классе 25 учащихся. При посадке деревьев в…
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 сантиметрам. Найдите его катеты, если один из них больше другого на 4 сантиметра. ; В классе 25 учащихся. При посадке деревьев в школьном саду каждая девочка посадила по 2 дерева, а каждый мальчик по 3 дерева. Всего было посажено 63 дерева. Сколько в классе девочек и сколько мальчиков?
Чтобы решить данные задачи, давайте разберем каждую из них по отдельности и подробно.
Задача 1: Прямоугольный треугольник
В этой задаче нам известно, что гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 см, а один из катетов больше другого на 4 см.
Обозначим катеты: Пусть один катет будет \( x \) см. Тогда другой катет будет \( (x + 4) \) см, так как он больше на 4 см.
Используем теорему Пифагора: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] где \( a \) и \( b \) — катеты, \( c \) — гипотенуза. Подставляем наши значения: \[ x^2 + (x + 4)^2 = 20^2 \]
Раскроем скобки: \[ x^2 + (x^2 + 8x + 16) = 400 \] Упрощаем: \[ 2x^2 + 8x + 16 = 400 \]
Переносим все в одну сторону: \[ 2x^2 + 8x + 16 - 400 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x^2 + 8x - 384 = 0 \]
Упрощаем уравнение: Делим все части уравнения на 2: \[ x^2 + 4x - 192 = 0 \]
Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-192) = 16 + 768 = 784 \]
Находим корни уравнения: Используем формулу корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{{-4 \pm \sqrt{784}}}{2} \] \[ x = \frac{{-4 \pm 28}}{2} \] Получаем два корня: \[ x_1 = \frac{24}{2} = 12 \quad (катет) \] \[ x_2 = \frac{-32}{2} = -16 \quad (игнорируем, так как длина не может быть отрицательной) \]
Находим длины катетов: Первый катет \( x = 12 \) см, второй катет \( x + 4 = 16 \) см.
Ответ:
Катеты прямоугольного треугольника равны 12 см и 16 см.
Задача 2: Ученики в классе
Дано, что в классе 25 учеников, каждая девочка посадила по 2 дерева, а каждый мальчик по 3. Всего было посажено 63 дерева.
Обозначим переменные: Пусть \( d \) — количество девочек, тогда \( m = 25 - d \) — количество мальчиков.
Составим уравнение по количеству посаженных деревьев: \[ 2d + 3m = 63 \]
Подставим выражение для \( m \): \[ 2d + 3(25 - d) = 63 \] Упрощаем: \[ 2d + 75 - 3d = 63 \] \[ -d + 75 = 63 \] \[ -d = 63 - 75 \quad \Rightarrow \quad -d = -12 \quad \Rightarrow \quad d = 12 \]
Находим количество мальчиков: \[ m = 25 - d = 25 - 12 = 13 \]
Ответ:
В классе 12 девочек и 13 мальчиков.
Таким образом, обе задачи решены с подробными шагами. Если остались вопросы, не стесняйтесь спрашивать!
