Для решения данной задачи начнем с определения необходимых тригонометрических величин на основе данных.
Шаг 1: Определение значений тригонометрических функций
Дано, что угол ( C ) треугольника ( ABC ) равен ( 90^\circ ) (то есть треугольник является прямоугольным), и известно, что синус угла ( B ) равен ( \frac{2\sqrt{2}}{10} ).
Сначала упрощаем это значение:
[
\sin(B) = \frac{2\sqrt{2}}{10} = \frac{\sqrt{2}}{5}
]
Шаг 2: Связь между синусом и косинусом
В прямоугольном треугольнике справедливо следующее соотношение (по теореме Пифагора):
[
\sin^2(B) + \cos^2(B) = 1
]
Шаг 3: Подставляем известное значение
Подставим значение синуса в уравнение:
[
\left(\frac{\sqrt{2}}{5}\right)^2 + \cos^2(B) = 1
]
Теперь вычислим (\left(\frac{\sqrt{2}}{5}\right)^2):
[
\left(\frac{\sqrt{2}}{5}\right)^2 = \frac{2}{25}
]
Тогда у нас получается:
[
\frac{2}{25} + \cos^2(B) = 1
]
Шаг 4: Находим косинус
Теперь решим уравнение для (\cos^2(B)):
[
\cos^2(B) = 1 - \frac{2}{25}
]
Для выполнения вычитания представим 1 в виде дроби:
[
1 = \frac{25}{25}
]
Подставим в уравнение:
[
\cos^2(B) = \frac{25}{25} - \frac{2}{25} = \frac{23}{25}
]
Ответ
Таким образом, квадрат косинуса угла ( B ) равен:
[
\cos^2(B) = \frac{23}{25}
]
Заключение
Мы нашли значение (\cos^2(B) = \frac{23}{25}), используя основные тригонометрические соотношения. Если у вас есть дополнительные вопросы по данной теме, не стесняйтесь спрашивать!
