Чтобы решить задачу, нам нужно использовать формулу для расчета вероятности в биномиальном распределении.
Шаг 1: Определение параметров
В данной задаче:
- Вероятность попадания мячом в корзину (успеха) ( p = 0.8 ).
- Вероятность промаха (неуспеха) ( q = 1 - p = 0.2 ).
- Количество бросков ( n = 10 ).
- Мы ищем вероятность того, что Олег попадёт в корзину ровно ( k = 5 ) раз.
Шаг 2: Формула биномиального распределения
Формула для вычисления вероятности ( P(X = k) ) в биномиальном распределении выглядит следующим образом:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}
]
где:
- ( C(n, k) ) — это биномиальный коэффициент, который рассчитывается по формуле:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
Шаг 3: Вычисление биномиального коэффициента
В нашем случае нужно найти ( C(10, 5) ):
[
C(10, 5) = \frac{10!}{5! \cdot (10-5)!} = \frac{10!}{5! \cdot 5!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 252
]
Шаг 4: Расчет вероятности
Теперь мы подставим все значения в формулу:
[
P(X = 5) = C(10, 5) \cdot p^5 \cdot q^{10-5}
]
Подставляем значения:
[
P(X = 5) = 252 \cdot (0.8)^5 \cdot (0.2)^5
]
Теперь вычислим ( (0.8)^5 ) и ( (0.2)^5 ):
[
(0.8)^5 = 0.32768
]
[
(0.2)^5 = 0.00032
]
Теперь подставим их в формулу:
[
P(X = 5) = 252 \cdot 0.32768 \cdot 0.00032
]
Шаг 5: Умножение
Сначала умножим ( 252 \cdot 0.32768 ):
[
252 \cdot 0.32768 \approx 82.03136
]
Теперь умножим на ( 0.00032 ):
[
P(X = 5) \approx 82.03136 \cdot 0.00032 = 0.02624
]
Ответ
Таким образом, вероятность того, что Олег попадёт в корзину ровно 5 раз, составляет примерно:
[
P(X = 5) \approx 0.02624 \text{ или } 2.624%
]
Этот результат показывает, что вероятность того, что Олег забросит мяч ровно 5 раз из 10 бросков, не слишком велика, поскольку вероятность попадания высока (0.8).
