Олег кидает мяч в баскетбольную корзину 10 раз. Вероятность попадания при каждом отдельном броске независимо от других равна 0,8. Найдите вероятность того, что Олег попадёт в…

Чтобы решить задачу, нам нужно использовать формулу для расчета вероятности в биномиальном распределении.

Шаг 1: Определение параметров

В данной задаче:

• Вероятность попадания мячом в корзину (успеха) \( p = 0.8 \).
• Вероятность промаха (неуспеха) \( q = 1 - p = 0.2 \).
• Количество бросков \( n = 10 \).
• Мы ищем вероятность того, что Олег попадёт в корзину ровно \( k = 5 \) раз.

Шаг 2: Формула биномиального распределения

Формула для вычисления вероятности \( P(X = k) \) в биномиальном распределении выглядит следующим образом:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

где:

• \( C(n, k) \) — это биномиальный коэффициент, который рассчитывается по формуле:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Шаг 3: Вычисление биномиального коэффициента

В нашем случае нужно найти \( C(10, 5) \):

\[ C(10, 5) = \frac{10!}{5! \cdot (10-5)!} = \frac{10!}{5! \cdot 5!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 252 \]

Шаг 4: Расчет вероятности

Теперь мы подставим все значения в формулу:

\[ P(X = 5) = C(10, 5) \cdot p^5 \cdot q^{10-5} \]

Подставляем значения:

\[ P(X = 5) = 252 \cdot (0.8)^5 \cdot (0.2)^5 \]

Теперь вычислим \( (0.8)^5 \) и \( (0.2)^5 \):

\[ (0.8)^5 = 0.32768 \] \[ (0.2)^5 = 0.00032 \]

Теперь подставим их в формулу:

\[ P(X = 5) = 252 \cdot 0.32768 \cdot 0.00032 \]

Шаг 5: Умножение

Сначала умножим \( 252 \cdot 0.32768 \):

\[ 252 \cdot 0.32768 \approx 82.03136 \]

Теперь умножим на \( 0.00032 \):

\[ P(X = 5) \approx 82.03136 \cdot 0.00032 = 0.02624 \]

Ответ

Таким образом, вероятность того, что Олег попадёт в корзину ровно 5 раз, составляет примерно:

\[ P(X = 5) \approx 0.02624 \text{ или } 2.624\% \]

Этот результат показывает, что вероятность того, что Олег забросит мяч ровно 5 раз из 10 бросков, не слишком велика, поскольку вероятность попадания высока (0.8).