В треугольнике M N K MNK ∠M=90° , ∠N=45° , MN=27 2 . Чему равна гипотенуза этого треугольника?
Для решения задачи о нахождении гипотенузы треугольника MNK, где угол ∠M равен 90°, а угол ∠N равен 45°, а также длина одной из катетов MN равна \(27\sqrt{2}\), воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника.
Определение треугольника: У нас есть прямоугольный треугольник, где:
- ∠M = 90° (прямой угол)
- ∠N = 45° (один из острых углов)
- Значит, угол ∠K также равен 45° (сумма углов треугольника равна 180°).
Свойства равнобедренного треугольника: Поскольку в данном треугольнике два угла равны (по 45°), то он является равнобедренным, где катеты MN и MK равны.
Расчет второго катета: Как уже отмечено, MN = 27√2. Поскольку MN и MK равны, то MK также равно \(27\sqrt{2}\).
Формула для нахождения гипотенузы: В прямоугольном треугольнике гипотенуза \(c\) вычисляется по теореме Пифагора: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \] где \(a\) и \(b\) — это длины катетов. В нашем случае:
- \(a = MN = 27\sqrt{2}\)
- \(b = MK = 27\sqrt{2}\)
Подставим значения: \[ c = \sqrt{(27\sqrt{2})^2 + (27\sqrt{2})^2} \]
Вычисление квадратов катетов: \[ (27\sqrt{2})^2 = 27^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 729 \cdot 2 = 1458 \] Поэтому: \[ c = \sqrt{1458 + 1458} = \sqrt{2916} \]
Вычисление значения гипотенузы: \[ c = \sqrt{2916} = 54 \]
Таким образом, гипотенуза треугольника MNK равна \(54\).
