Окей, давай разберёмся вместе!
У нас есть задача: найти площадь боковой поверхности правильной треугольной усеченной пирамиды, стороны основания которой равны 6 и 8 см, а боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°.
Для начала определимся, что такое правильная треугольная усеченная пирамида. Это фигура, у которой основания - это два подобных и одинаково ориентированных правильных треугольника, а боковые грани – трапеции.
Площадь боковой поверхности – это сумма площадей всех боковых граней. В данном случае у нас их три, так как грани треугольные. Нужно найти площадь каждой трапеции и сложить их.
Площадь трапеции находится по формуле: ( S = \frac{1}{2} (a + b) \cdot h ), где ( a ) и ( b ) - длины оснований трапеции, ( h ) - высота трапеции.
Чтобы найти высоту трапеции, воспользуемся тем, что боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Это значит, что высоту можно найти как более короткое основание трапеции умноженное на тангенс 60°, то есть ( h = a \cdot \tan(60°) ).
Так как у нас правильная треугольная пирамида, то высоты трапеций будут одинаковы. Итак, нам нужно найти длины боковых сторон трапеций. В правильной треугольной пирамиде боковые стороны трапеций будут равны.
Так как треугольники подобны, стороны большего относятся к сторонам меньшего как 4:3 (потому что 8 и 6). Длину боковой стороны меньшей пирамиды можно обозначить как ( x ), тогда длина боковой стороны большей пирамиды будет ( \frac{4}{3}x ). Из этого мы можем найти ( x ) по теореме Пифагора, так как в правильной треугольной пирамиде каждая боковая сторона и половина стороны основания образуют прямоугольный треугольник.
Допустим, ( x ) - боковая сторона меньшей пирамиды, тогда:
( (3x)^2 = 6^2 + (\frac{1}{2} \cdot 6)^2 ) (половина стороны меньшего основания)
( 9x^2 = 36 + 9 )
( x^2 = 5 )
( x = \sqrt{5} )
Теперь можем найти высоту трапеции:
( h = 6 \cdot \tan(60°) = 6 \cdot \sqrt{3} )
Наконец, площадь боковой поверхности пирамиды будет:
( S_{бок} = 3 \cdot \frac{1}{2} (6 + 8) \cdot 6 \cdot \sqrt{3} )
( S_{бок} = \frac{3}{2} \cdot 14 \cdot 6 \cdot \sqrt{3} )
( S_{бок} = 3 \cdot 7 \cdot 6 \cdot \sqrt{3} )
( S_{бок} = 126 \cdot \sqrt{3} )
Вот так мы нашли площадь боковой поверхности усеченной пирамиды. Надеюсь, задача стала понятнее!
