Прямоугольный участок земли обнесен забором длина которого 40 метров.Площадь участка 96 метров квадратных.Найдите длины сторон участка.
Для решения задачи о прямоугольном участке земли давайте обозначим длины сторон этого прямоугольника. Пусть одна сторона будет \(a\), а другая сторона — \(b\).
Имеем следующие два уравнения, исходя из данных задачи:
Сумма периметра: \[ 2(a + b) = 40 \] Это уравнение можно упростить, разделив обе стороны на 2: \[ a + b = 20 \quad \text{(1)} \]
Площадь участка: \[ a \cdot b = 96 \quad \text{(2)} \]
Теперь у нас есть система уравнений (1) и (2).
Шаг 1: Выразим одно из переменных через другое
Из уравнения (1) выразим \(b\): \[ b = 20 - a \quad \text{(3)} \]
Шаг 2: Подставим полученное значение в уравнение (2)
Теперь подставим (3) в (2): \[ a \cdot (20 - a) = 96 \] Раскроем скобки: \[ 20a - a^2 = 96 \] Перепишем уравнение, чтобы привести его к стандартному виду: \[ -a^2 + 20a - 96 = 0 \] Умножим всю уравнение на -1, чтобы перед \(a^2\) стоял положительный знак: \[ a^2 - 20a + 96 = 0 \]
Шаг 3: Найдем корни квадратного уравнения
Для решения этого уравнения воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Где здесь: \(a = 1\), \(b = -20\), \(c = 96\).
Сначала найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 96 = 400 - 384 = 16 \]
Теперь подставим дискриминант в формулу нахождения корней: \[ a = \frac{20 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{20 \pm 4}{2} \]
Следовательно, у нас есть два возможных значения для \(a\): \[ a_1 = \frac{20 + 4}{2} = \frac{24}{2} = 12 \] \[ a_2 = \frac{20 - 4}{2} = \frac{16}{2} = 8 \]
Шаг 4: Найдем соответствующие значения для \(b\)
Теперь, используя (3), найдем соответствующие значения \(b\):
Если \(a = 12\): \[ b = 20 - 12 = 8 \]
Если \(a = 8\): \[ b = 20 - 8 = 12 \]
Итог
Таким образом, длины сторон участка:
- \(a = 12\) метров и \(b = 8\) метров (или наоборот).
Ответ: длины сторон участка 12 метров и 8 метров.
