Для решения задачи о прямоугольном участке земли давайте обозначим длины сторон этого прямоугольника. Пусть одна сторона будет (a), а другая сторона — (b).
Имеем следующие два уравнения, исходя из данных задачи:
Сумма периметра:
[
2(a + b) = 40
]
Это уравнение можно упростить, разделив обе стороны на 2:
[
a + b = 20 \quad \text{(1)}
]
Площадь участка:
[
a \cdot b = 96 \quad \text{(2)}
]
Теперь у нас есть система уравнений (1) и (2).
Шаг 1: Выразим одно из переменных через другое
Из уравнения (1) выразим (b):
[
b = 20 - a \quad \text{(3)}
]
Шаг 2: Подставим полученное значение в уравнение (2)
Теперь подставим (3) в (2):
[
a \cdot (20 - a) = 96
]
Раскроем скобки:
[
20a - a^2 = 96
]
Перепишем уравнение, чтобы привести его к стандартному виду:
[
-a^2 + 20a - 96 = 0
]
Умножим всю уравнение на -1, чтобы перед (a^2) стоял положительный знак:
[
a^2 - 20a + 96 = 0
]
Шаг 3: Найдем корни квадратного уравнения
Для решения этого уравнения воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:
[
a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
Где здесь: (a = 1), (b = -20), (c = 96).
Сначала найдем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 96 = 400 - 384 = 16
]
Теперь подставим дискриминант в формулу нахождения корней:
[
a = \frac{20 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{20 \pm 4}{2}
]
Следовательно, у нас есть два возможных значения для (a):
[
a_1 = \frac{20 + 4}{2} = \frac{24}{2} = 12
]
[
a_2 = \frac{20 - 4}{2} = \frac{16}{2} = 8
]
Шаг 4: Найдем соответствующие значения для (b)
Теперь, используя (3), найдем соответствующие значения (b):
Если (a = 12):
[
b = 20 - 12 = 8
]
Если (a = 8):
[
b = 20 - 8 = 12
]
Итог
Таким образом, длины сторон участка:
- (a = 12) метров и (b = 8) метров (или наоборот).
Ответ: длины сторон участка 12 метров и 8 метров.
