Радиус основания цилиндра равен 6 см, а диагональ его осевого сечения образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите объём цилиндра.
Чтобы найти объем цилиндра, нам нужно использовать формулу для объема цилиндра:
\[ V = S_b \cdot h \]
где \( V \) — объем цилиндра, \( S_b \) — площадь основания, а \( h \) — высота цилиндра.
Нахождение площади основания: Площадь основания цилиндра \( S_b \) можно найти с помощью формулы для площади круга:
\[ S_b = \pi r^2 \]
где \( r \) — радиус основания. В данной задаче радиус основания \( r = 6 \) см. Подставим значение:
\[ S_b = \pi (6^2) = \pi \cdot 36 \approx 113.1 \text{ см}^2 \]
Нахождение высоты цилиндра: Мы знаем диагональ осевого сечения цилиндра и угол между диагональю и плоскостью основания. Для цилиндра осевое сечение представляет собой прямоугольный треугольник, где:
- Одной катет — высота цилиндра \( h \)
- Другой катет — радиус основания \( r \)
- Гипотенуза — это диагональ, образующая угол 60° с основанием.
Используя тригонометрию, мы можем выразить высоту:
\[ \tan(60°) = \frac{h}{r} \]
Зная, что \( \tan(60°) = \sqrt{3} \), подставляем в уравнение:
\[ \sqrt{3} = \frac{h}{6} \]
Теперь найдем высоту \( h \):
\[ h = 6\sqrt{3} \]
Теперь можем найти объем цилиндра: Подставим значения \( S_b \) и \( h \) в формулу для объема:
\[ V = S_b \cdot h = 113.1 \cdot (6\sqrt{3}) \]
Теперь упрощаем:
\[ V \approx 113.1 \cdot 6 \cdot 1.732 \approx 113.1 \cdot 10.392 \approx 1176.1 \text{ см}^3 \]
Таким образом, объем цилиндра примерно равен \( 1176.1 \, \text{см}^3 \).
