Радиус основания цилиндра равен 6 см, а диагональ его осевого сечения образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите объём цилиндра.

Чтобы найти объем цилиндра, нам нужно использовать формулу для объема цилиндра: \[ V = S_b \cdot h \] где \( V \) — объем цилиндра, \( S_b \) — площадь основания, а \( h \) — высота цилиндра. 1. **Нахождение площади основания**: Площадь основания цилиндра \( S_b \) можно найти с помощью формулы для площади круга: \[ S_b = \pi r^2 \] где \( r \) — радиус основания. В данной задаче радиус основания \( r = 6 \) см. Подставим значение: \[ S_b = \pi (6^2) = \pi \cdot 36 \approx 113.1 \text{ см}^2 \] 2. **Нахождение высоты цилиндра**: Мы знаем диагональ осевого сечения цилиндра и угол между диагональю и плоскостью основания. Для цилиндра осевое сечение представляет собой прямоугольный треугольник, где: - Одной катет — высота цилиндра \( h \) - Другой катет — радиус основания \( r \) - Гипотенуза — это диагональ, образующая угол 60° с основанием. Используя тригонометрию, мы можем выразить высоту: \[ \tan(60°) = \frac{h}{r} \] Зная, что \( \tan(60°) = \sqrt{3} \), подставляем в уравнение: \[ \sqrt{3} = \frac{h}{6} \] Теперь найдем высоту \( h \): \[ h = 6\sqrt{3} \] 3. **Теперь можем найти объем цилиндра**: Подставим значения \( S_b \) и \( h \) в формулу для объема: \[ V = S_b \cdot h = 113.1 \cdot (6\sqrt{3}) \] Теперь упрощаем: \[ V \approx 113.1 \cdot 6 \cdot 1.732 \approx 113.1 \cdot 10.392 \approx 1176.1 \text{ см}^3 \] Таким образом, объем цилиндра примерно равен \( 1176.1 \, \text{см}^3 \).