1. Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 45 см. Найдите сторону правильного четырёхугольника, вписанного в ту же окружность. 2. Найдите площадь круга,…

Давайте разберём каждую из задач по отдельности с подробными объяснениями.

Задача 1:

Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 45 см. Найдите сторону правильного четырёхугольника, вписанного в ту же окружность.

1. Периметр треугольника:
   Пусть сторона правильного треугольника равна \( a \). Периметр треугольника равен \( 3a \). \[ 3a = 45 \Rightarrow a = \frac{45}{3} = 15 \text{ см} \]

2. Радиус окружности (R):
   Для правильного треугольника радиус описанной окружности вычисляется по формуле: \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{15}{\sqrt{3}} = 5\sqrt{3} \text{ см} \]

3. Сторона квадрата:
   Для правильного четырёхугольника (квадрат), вписанного в окружность, сторона квадрата \( b \) выражается через радиус окружности \( R \): \[ R = \frac{b\sqrt{2}}{2} \Rightarrow b = \frac{R \cdot 2}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2} \] Подставим радиус: \[ b = (5\sqrt{3})\sqrt{2} = 5\sqrt{6} \text{ см} \]

Таким образом, сторона правильного четырёхугольника равна \( 5\sqrt{6} \) см или приблизительно 12,25 см.

Задача 2:

Найдите площадь круга, если площадь вписанного в окружность квадрата равна 72 дм².

1. Сторона квадрата (s):
   Площадь квадрата выражается как: \[ s^2 = 72 \Rightarrow s = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \text{ дм} \]

2. Радиус окружности (R):
   Радиус окружности, вписывающей квадрат, равен половине длины диагонали квадрата. Диагональ квадрата \( d \) равняется: \[ d = s\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 12 \text{ дм} \] Следовательно, радиус: \[ R = \frac{d}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ дм} \]

3. Площадь круга (S):
   Площадь круга вычисляется по формуле: \[ S = \pi R^2 = \pi \cdot 6^2 = 36\pi \text{ дм}^2 \] Приблизительно: \[ S \approx 113,1 \text{ дм}^2 \]

Задача 3:

Радиус окружности равен 8 см, а градусная мера дуги равна 150°. Найдите длину этой дуги.

1. Длина дуги (L):
   Длина дуги рассчитывается по формуле: \[ L = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot 2\pi R \] где \( \theta = 150^\circ \) и \( R = 8 \) см. Подставим значения: \[ L = \frac{150}{360} \cdot 2\pi \cdot 8 = \frac{5}{12} \cdot 16\pi = \frac{20\pi}{3} \text{ см} \]

Таким образом, длина дуги составляет примерно \( 20\pi/3 \) см или 20,94 см (используя \( \pi \approx 3,14 \)).

Если у вас есть дополнительные вопросы по этим темам, не стесняйтесь спрашивать!