Давайте разберём каждую из задач по отдельности с подробными объяснениями.
Задача 1:
Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 45 см. Найдите сторону правильного четырёхугольника, вписанного в ту же окружность.
Периметр треугольника:
Пусть сторона правильного треугольника равна ( a ). Периметр треугольника равен ( 3a ).
[
3a = 45 \Rightarrow a = \frac{45}{3} = 15 \text{ см}
]
Радиус окружности (R):
Для правильного треугольника радиус описанной окружности вычисляется по формуле:
[
R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{15}{\sqrt{3}} = 5\sqrt{3} \text{ см}
]
Сторона квадрата:
Для правильного четырёхугольника (квадрат), вписанного в окружность, сторона квадрата ( b ) выражается через радиус окружности ( R ):
[
R = \frac{b\sqrt{2}}{2} \Rightarrow b = \frac{R \cdot 2}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2}
]
Подставим радиус:
[
b = (5\sqrt{3})\sqrt{2} = 5\sqrt{6} \text{ см}
]
Таким образом, сторона правильного четырёхугольника равна ( 5\sqrt{6} ) см или приблизительно 12,25 см.
Задача 2:
Найдите площадь круга, если площадь вписанного в окружность квадрата равна 72 дм².
Сторона квадрата (s):
Площадь квадрата выражается как:
[
s^2 = 72 \Rightarrow s = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \text{ дм}
]
Радиус окружности (R):
Радиус окружности, вписывающей квадрат, равен половине длины диагонали квадрата. Диагональ квадрата ( d ) равняется:
[
d = s\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 12 \text{ дм}
]
Следовательно, радиус:
[
R = \frac{d}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ дм}
]
Площадь круга (S):
Площадь круга вычисляется по формуле:
[
S = \pi R^2 = \pi \cdot 6^2 = 36\pi \text{ дм}^2
]
Приблизительно:
[
S \approx 113,1 \text{ дм}^2
]
Задача 3:
Радиус окружности равен 8 см, а градусная мера дуги равна 150°. Найдите длину этой дуги.
- Длина дуги (L):
Длина дуги рассчитывается по формуле:
[
L = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot 2\pi R
]
где ( \theta = 150^\circ ) и ( R = 8 ) см. Подставим значения:
[
L = \frac{150}{360} \cdot 2\pi \cdot 8 = \frac{5}{12} \cdot 16\pi = \frac{20\pi}{3} \text{ см}
]
Таким образом, длина дуги составляет примерно ( 20\pi/3 ) см или 20,94 см (используя ( \pi \approx 3,14 )).
Если у вас есть дополнительные вопросы по этим темам, не стесняйтесь спрашивать!
