Давайте решим эту задачу, учитывая, что мы имеем прямоугольный треугольник ABC с прямым углом ( \angle C = 90^\circ ), углом ( \angle B = 30^\circ ), и у нас есть длина гипотенузы ( AB = 92 ) см. Нужно найти длину катета ( AC ).
Шаг 1: Понимание задачи
В прямоугольном треугольнике один угол равен ( 90^\circ ). Здесь угол ( C = 90^\circ ). У нас также дан угол ( B = 30^\circ ). Тогда угол ( A ) можно найти как:
[
\angle A = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ
]
Шаг 2: Использование тригонометрических соотношений
В прямоугольном треугольнике с углом ( 30^\circ ), отношение катетов соответствует следующим тригонометрическим соотношениям:
- Синус угла ( 30^\circ ): ( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} )
- Косинус угла ( 30^\circ ): ( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} )
Нам нужно найти ( AC ), который противолежащий катет для угла ( 30^\circ ), поэтому мы используем синус:
[
\sin 30^\circ = \frac{AC}{AB}
]
Подставим известные значения:
[
\frac{1}{2} = \frac{AC}{92}
]
Шаг 3: Решение уравнения
Преобразуем уравнение для нахождения ( AC ):
[
AC = 92 \times \frac{1}{2}
]
Посчитаем:
[
AC = 46 , \text{см}
]
Ответ
Длина катета ( AC = 46 ) см.
