Составьте таблицу распределения вероятностей и найдите математическое ожидание суммы очков, выпадающих на четырёх кубиках при одном броске.

Для решения задачи о распределении вероятностей и нахождении математического ожидания суммы очков, выпадающих на четырёх кубиках, давайте разберёмся поэтапно.

Шаг 1: Определение возможных исходов

Когда мы бросаем один стандартный кубик, он может показать одно из 6 значений: 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Если мы бросаем 4 кубика, то сумма их очков может варьироваться от 4 (если все кубики покажут 1) до 24 (если все кубики покажут 6).

Шаг 2: Определение вероятностей

Мы можем представить все возможные результаты бросков 4 кубиков. Однако, количество всех возможных исходов будет равно \(6^4\), так как каждый кубик может выпасть в 6 разных позиций.

Число всех возможных комбинаций равно: \[ 6^4 = 1296 \]

Теперь нам нужно определить, какие суммы могут получиться и какова их вероятность.

Шаг 3: Составим таблицу распределения

Сначала мы найдем, как много способов можно получить каждую сумму от 4 до 24. Это можно сделать, выписав все возможные комбинации, но проще воспользоваться фактом, что это задача с повторением.

• Сумма 4 (1+1+1+1): 1 способ
• Сумма 5: 4 способа (например, 1+1+1+2 и все их перестановки)
• Сумма 6: 10 способов
• Сумма 7: 20 способов
• Сумма 8: 35 способов
• Сумма 9: 56 способов
• Сумма 10: 80 способов
• Сумма 11: 104 способов
• Сумма 12: 120 способов
• Сумма 13: 104 способов
• Сумма 14: 80 способов
• Сумма 15: 56 способов
• Сумма 16: 35 способов
• Сумма 17: 20 способов
• Сумма 18: 10 способов
• Сумма 19: 4 способа
• Сумма 20 (это 1+6+6+6): 1 способ
• Сумма 21: 0 способов
• Сумма 22: 0 способов
• Сумма 23: 0 способов
• Сумма 24: 0 способов

Таблица распределения вероятностей для каждой суммы:

Шаг 4: Нахождение математического ожидания

Математическое ожидание (E) суммы очков \( X \) можно найти по формуле:

\[ E(X) = \sum (x \cdot P(x)) \]

где \( x \) — это сумма, а \( P(x) \) — вероятность этой суммы.

Теперь, давайте вычислим E(X):

\[ E(X) = 4 \cdot \frac{1}{1296} + 5 \cdot \frac{4}{1296} + 6 \cdot \frac{10}{1296} + 7 \cdot \frac{20}{1296} + 8 \cdot \frac{35}{1296} + 9 \cdot \frac{56}{1296} + 10 \cdot \frac{80}{1296} + 11 \cdot \frac{104}{1296} + 12 \cdot \frac{120}{1296} + 13 \cdot \frac{104}{1296} + 14 \cdot \frac{80}{1296} + 15 \cdot \frac{56}{1296} + 16 \cdot \frac{35}{1296} + 17 \cdot \frac{20}{1296} + 18 \cdot \frac{10}{1296} + 19 \cdot \frac{4}{1296} + 20 \cdot \frac{1}{1296} \]

Рассчитаем сумму:

\[ E(X) = \frac{4 + 20 + 60 + 140 + 280 + 504 + 800 + 1144 + 1440 + 1692 + 1120 + 840 + 560 + 340 + 180 + 76 + 20}{1296} \]

После сложения, это дает:

\[ E(X) \approx \frac{1840}{1296} \approx 10.8 \]

Ответ

Таким образом, математическое ожидание суммы очков, выпадающих на четырёх кубиках, равно приблизительно 10.8.