Чтобы решить задачу о нахождении гипотенузы треугольника с известной высотой и одним из катетов, будем использовать теорему Пифагора и свойства прямоугольного треугольника.
Дано:
- Высота, проведённая из прямого угла треугольника ( GHT ), равна ( 21 ).
- Один из катетов (пусть это будет ( a )) равен ( 35 ).
Нам нужно найти гипотенузу треугольника ( GHT ) (обозначим её ( c )).
Шаг 1: Обозначим стороны треугольника
Для прямоугольного треугольника обычно обозначают:
- ( a ) — один катет,
- ( b ) — второй катет,
- ( c ) — гипотенуза.
В нашем случае:
- ( a = 35 ),
- высота ( h = 21 ).
Шаг 2: Используем формулу для высоты
Высота ( h ), проведённая из прямого угла, связывает катеты и гипотенузу следующим образом:
[
h = \frac{a \cdot b}{c}
]
где ( b ) - это второй катет, который нам пока неизвестен.
Шаг 3: Выразим ( b ) через ( c )
Подставим известные значения в формулу:
[
21 = \frac{35 \cdot b}{c}
]
Умножим обе стороны на ( c ):
[
21c = 35b
]
Теперь выразим ( b ):
[
b = \frac{21c}{35} = \frac{3c}{5}
]
Шаг 4: Применим теорему Пифагора
Теперь, когда мы знаем два катета (один известен, а второй выражен через гипотенузу), можем воспользоваться теоремой Пифагора:
[
a^2 + b^2 = c^2
]
Подставим ( a ) и ( b ):
[
35^2 + \left(\frac{3c}{5}\right)^2 = c^2
]
Шаг 5: Упростим уравнение
Вычислим ( 35^2 ):
[
1225 + \frac{9c^2}{25} = c^2
]
Умножим всё уравнение на 25, чтобы избавиться от дробей:
[
25 \cdot 1225 + 9c^2 = 25c^2
]
Это упрощается до:
[
30625 + 9c^2 = 25c^2
]
Перенеся ( 9c^2 ) в правую часть, получаем:
[
30625 = 25c^2 - 9c^2
]
[
30625 = 16c^2
]
Шаг 6: Найдём ( c^2 ) и затем ( c )
Разделим обе стороны на 16:
[
c^2 = \frac{30625}{16}
]
Теперь найдём ( c ):
[
c = \sqrt{\frac{30625}{16}} = \frac{\sqrt{30625}}{4}
]
Шаг 7: Вычислим ( \sqrt{30625} )
Посчитаем ( \sqrt{30625} ):
- ( 30625 = 175^2 ) (так как ( 175 \times 175 = 30625 )).
Таким образом, ( c = \frac{175}{4} = 43.75 ).
Ответ
Гипотенуза треугольника ( GHT ) равна ( 43.75 ).
