Высота, проведённая из прямого угла треугольника G H T GHT , равна 21 21 . Найди гипотенузу треугольника G H T GHT , если один из его катетов равен 35 35 .

Чтобы решить задачу о нахождении гипотенузы треугольника с известной высотой и одним из катетов, будем использовать теорему Пифагора и свойства прямоугольного треугольника.

Дано:

• Высота, проведённая из прямого угла треугольника \( GHT \), равна \( 21 \).
• Один из катетов (пусть это будет \( a \)) равен \( 35 \).

Нам нужно найти гипотенузу треугольника \( GHT \) (обозначим её \( c \)).

Шаг 1: Обозначим стороны треугольника

Для прямоугольного треугольника обычно обозначают:

• \( a \) — один катет,
• \( b \) — второй катет,
• \( c \) — гипотенуза.

В нашем случае:

• \( a = 35 \),
• высота \( h = 21 \).

Шаг 2: Используем формулу для высоты

Высота \( h \), проведённая из прямого угла, связывает катеты и гипотенузу следующим образом: \[ h = \frac{a \cdot b}{c} \] где \( b \) - это второй катет, который нам пока неизвестен.

Шаг 3: Выразим \( b \) через \( c \)

Подставим известные значения в формулу: \[ 21 = \frac{35 \cdot b}{c} \] Умножим обе стороны на \( c \): \[ 21c = 35b \] Теперь выразим \( b \): \[ b = \frac{21c}{35} = \frac{3c}{5} \]

Шаг 4: Применим теорему Пифагора

Теперь, когда мы знаем два катета (один известен, а второй выражен через гипотенузу), можем воспользоваться теоремой Пифагора: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] Подставим \( a \) и \( b \): \[ 35^2 + \left(\frac{3c}{5}\right)^2 = c^2 \]

Шаг 5: Упростим уравнение

Вычислим \( 35^2 \): \[ 1225 + \frac{9c^2}{25} = c^2 \] Умножим всё уравнение на 25, чтобы избавиться от дробей: \[ 25 \cdot 1225 + 9c^2 = 25c^2 \] Это упрощается до: \[ 30625 + 9c^2 = 25c^2 \] Перенеся \( 9c^2 \) в правую часть, получаем: \[ 30625 = 25c^2 - 9c^2 \] \[ 30625 = 16c^2 \]

Шаг 6: Найдём \( c^2 \) и затем \( c \)

Разделим обе стороны на 16: \[ c^2 = \frac{30625}{16} \] Теперь найдём \( c \): \[ c = \sqrt{\frac{30625}{16}} = \frac{\sqrt{30625}}{4} \]

Шаг 7: Вычислим \( \sqrt{30625} \)

Посчитаем \( \sqrt{30625} \):

• \( 30625 = 175^2 \) (так как \( 175 \times 175 = 30625 \)). Таким образом, \( c = \frac{175}{4} = 43.75 \).

Ответ

Гипотенуза треугольника \( GHT \) равна \( 43.75 \).