Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…
Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Чтобы решить задачу, давайте обозначим:
- \( x \) — ставка налога на продажу сапогов-скороходов (в процентах),
- \( f(x) \) — функция дохода от налога (в миллиардах фантиков).
Из условия задачи мы знаем, что:
- \( f(10) = 1.3 \)
- \( f(33) = 1.3 \)
- \( f(27) = 1.6 \)
Так как функция \( f(x) \) является квадратичной, её можно записать в общем виде:
\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]
где \( a \), \( b \) и \( c \) — коэффициенты, которые нам необходимо определить.
Известно, что квадратичная функция имеет форму параболы и достигает максимума (или минимума) в вершине. Вершина параболы \( f(x) = ax^2 + bx + c \) находится по формуле:
\[ x_{max} = -\frac{b}{2a} \]
Теперь давайте подставим в уравнение значения, которые мы знаем.
Мы можем взять три точки:
- \( (10, 1.3) \)
- \( (27, 1.6) \)
- \( (33, 1.3) \)
Составим систему уравнений. Подставляя точки в уравнение квадратичной функции, получим:
- Для \( x = 10 \):
\[ 100a + 10b + c = 1.3 \]
- Для \( x = 27 \):
\[ 729a + 27b + c = 1.6 \]
- Для \( x = 33 \):
\[ 1089a + 33b + c = 1.3 \]
Теперь у нас есть три уравнения с тремя неизвестными (a, b, c). Нам нужно выразить \( c \) из первого уравнения и подставить в два других.
Выразим \( c \):
\[ c = 1.3 - 100a - 10b \]
Теперь подставим это выражение для \( c \) во вторые два уравнения:
Для второго уравнения:
\[ 729a + 27b + (1.3 - 100a - 10b) = 1.6 \] Упростив, имеем:
\[ (729 - 100)a + (27 - 10)b + 1.3 = 1.6 \] \[ 629a + 17b = 0.3 \quad \text{(1)} \]
Для третьего уравнения:
\[ 1089a + 33b + (1.3 - 100a - 10b) = 1.3 \] Упростив, имеем:
\[ (1089 - 100)a + (33 - 10)b + 1.3 = 1.3 \] \[ 989a + 23b = 0 \quad \text{(2)} \]
Теперь решим систему из уравнений (1) и (2):
\[ 629a + 17b = 0.3 \] \[ 989a + 23b = 0 \]
Умножим первое уравнение на 23 и второе на 17:
\[ 14467a + 391b = 6.9 \] \[ 16813a + 391b = 0 \]
Теперь вычтем второе уравнение из первого:
\[ (14467 - 16813)a = 6.9 \]
Получаем:
\[ -2346a = 6.9 \quad \Rightarrow \quad a = -\frac{6.9}{2346} \approx -0.002941 \]
Теперь найдем \( b \), подставив значение \( a \) в одно из уравнений. Например, в (1):
\[ 629(-0.002941) + 17b = 0.3 \]
Решим это уравнение для \( b \):
\[ -1.85 + 17b = 0.3 \quad \Rightarrow \quad 17b = 2.15 \quad \Rightarrow \quad b \approx 0.1265 \]
Теперь подставим \( a \) и \( b \) в выражение для \( c \):
\[ c = 1.3 - 100(-0.002941) - 10(0.1265) \] \[ c \approx 1.3 + 0.2941 - 1.265 \approx 0.329 \]
Теперь у нас есть значения \( a \), \( b \) и \( c \):
- \( a \approx -0.002941 \)
- \( b \approx 0.1265 \)
- \( c \approx 0.329 \)
Теперь подставим эти значения в формулу для нахождения максимальной прибыли:
\[ x_{max} = -\frac{b}{2a} = -\frac{0.1265}{2 \times -0.002941} \approx \frac{0.1265}{0.005882} \approx 21.5 \]
Таким образом, максимальная ставка налога, которая приведет к максимальным поступлениям в бюджет, составляет примерно 21.5%.
