Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.

Чтобы решить задачу, давайте обозначим: - \( x \) — ставка налога на продажу сапогов-скороходов (в процентах), - \( f(x) \) — функция дохода от налога (в миллиардах фантиков). Из условия задачи мы знаем, что: - \( f(10) = 1.3 \) - \( f(33) = 1.3 \) - \( f(27) = 1.6 \) Так как функция \( f(x) \) является квадратичной, её можно записать в общем виде: \[ f(x) = ax^2 + bx + c \] где \( a \), \( b \) и \( c \) — коэффициенты, которые нам необходимо определить. Известно, что квадратичная функция имеет форму параболы и достигает максимума (или минимума) в вершине. Вершина параболы \( f(x) = ax^2 + bx + c \) находится по формуле: \[ x_{max} = -\frac{b}{2a} \] Теперь давайте подставим в уравнение значения, которые мы знаем. Мы можем взять три точки: 1. \( (10, 1.3) \) 2. \( (27, 1.6) \) 3. \( (33, 1.3) \) Составим систему уравнений. Подставляя точки в уравнение квадратичной функции, получим: 1) Для \( x = 10 \): \[ 100a + 10b + c = 1.3 \] 2) Для \( x = 27 \): \[ 729a + 27b + c = 1.6 \] 3) Для \( x = 33 \): \[ 1089a + 33b + c = 1.3 \] Теперь у нас есть три уравнения с тремя неизвестными (a, b, c). Нам нужно выразить \( c \) из первого уравнения и подставить в два других. Выразим \( c \): \[ c = 1.3 - 100a - 10b \] Теперь подставим это выражение для \( c \) во вторые два уравнения: Для второго уравнения: \[ 729a + 27b + (1.3 - 100a - 10b) = 1.6 \] Упростив, имеем: \[ (729 - 100)a + (27 - 10)b + 1.3 = 1.6 \] \[ 629a + 17b = 0.3 \quad \text{(1)} \] Для третьего уравнения: \[ 1089a + 33b + (1.3 - 100a - 10b) = 1.3 \] Упростив, имеем: \[ (1089 - 100)a + (33 - 10)b + 1.3 = 1.3 \] \[ 989a + 23b = 0 \quad \text{(2)} \] Теперь решим систему из уравнений (1) и (2): \[ 629a + 17b = 0.3 \] \[ 989a + 23b = 0 \] Умножим первое уравнение на 23 и второе на 17: \[ 14467a + 391b = 6.9 \] \[ 16813a + 391b = 0 \] Теперь вычтем второе уравнение из первого: \[ (14467 - 16813)a = 6.9 \] Получаем: \[ -2346a = 6.9 \quad \Rightarrow \quad a = -\frac{6.9}{2346} \approx -0.002941 \] Теперь найдем \( b \), подставив значение \( a \) в одно из уравнений. Например, в (1): \[ 629(-0.002941) + 17b = 0.3 \] Решим это уравнение для \( b \): \[ -1.85 + 17b = 0.3 \quad \Rightarrow \quad 17b = 2.15 \quad \Rightarrow \quad b \approx 0.1265 \] Теперь подставим \( a \) и \( b \) в выражение для \( c \): \[ c = 1.3 - 100(-0.002941) - 10(0.1265) \] \[ c \approx 1.3 + 0.2941 - 1.265 \approx 0.329 \] Теперь у нас есть значения \( a \), \( b \) и \( c \): - \( a \approx -0.002941 \) - \( b \approx 0.1265 \) - \( c \approx 0.329 \) Теперь подставим эти значения в формулу для нахождения максимальной прибыли: \[ x_{max} = -\frac{b}{2a} = -\frac{0.1265}{2 \times -0.002941} \approx \frac{0.1265}{0.005882} \approx 21.5 \] Таким образом, максимальная ставка налога, которая приведет к максимальным поступлениям в бюджет, составляет примерно **21.5%**.