Давайте решим задачу, шаг за шагом.
Итак, у нас есть два натуральных числа, обозначим их ( x ) и ( y ). По условию задачи мы знаем:
Сумма этих чисел равна 19:
[
x + y = 19 \quad (1)
]
Сумма квадратов этих чисел равна 185:
[
x^2 + y^2 = 185 \quad (2)
]
Теперь мы можем использовать первое уравнение, чтобы выразить одно число через другое. Из уравнения (1) мы можем выразить ( y ):
[
y = 19 - x \quad (3)
]
Теперь подставим это значение ( y ) в уравнение (2):
[
x^2 + (19 - x)^2 = 185
]
Раскроем скобки:
[
x^2 + (19^2 - 38x + x^2) = 185
]
[
x^2 + 361 - 38x + x^2 = 185
]
[
2x^2 - 38x + 361 - 185 = 0
]
[
2x^2 - 38x + 176 = 0
]
Чтобы упростить уравнение, разделим все его коэффициенты на 2:
[
x^2 - 19x + 88 = 0 \quad (4)
]
Теперь решим квадратное уравнение (4) с помощью формулы дискриминанта. Дискриминант ( D ) уравнения определяется как:
[
D = b^2 - 4ac
]
где ( a = 1, b = -19, c = 88 ):
[
D = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 88 = 361 - 352 = 9
]
Теперь найдем корни уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 \pm 3}{2}
]
Теперь находим оба значения ( x ):
- ( x_1 = \frac{19 + 3}{2} = \frac{22}{2} = 11 )
- ( x_2 = \frac{19 - 3}{2} = \frac{16}{2} = 8 )
Теперь подставим значения ( x_1 ) и ( x_2 ) в уравнение (3), чтобы найти ( y ):
Если ( x = 11 ), тогда
[
y = 19 - 11 = 8
]
И наоборот, если ( x = 8 ), тогда
[
y = 19 - 8 = 11
]
Таким образом, мы нашли два числа: 11 и 8. Поскольку требуется указать числа в порядке возрастания, ответ будет:
Ответ: 88
