Сумма двух натуральных чисел равна 19, а сумма квадратов этих чисел равна 185. Найдите эти числа. в ответе укажите найденые числа без пробелов в порядке возрастания
Давайте решим задачу, шаг за шагом.
Итак, у нас есть два натуральных числа, обозначим их \( x \) и \( y \). По условию задачи мы знаем:
Сумма этих чисел равна 19: \[ x + y = 19 \quad (1) \]
Сумма квадратов этих чисел равна 185: \[ x^2 + y^2 = 185 \quad (2) \]
Теперь мы можем использовать первое уравнение, чтобы выразить одно число через другое. Из уравнения (1) мы можем выразить \( y \): \[ y = 19 - x \quad (3) \]
Теперь подставим это значение \( y \) в уравнение (2): \[ x^2 + (19 - x)^2 = 185 \]
Раскроем скобки: \[ x^2 + (19^2 - 38x + x^2) = 185 \] \[ x^2 + 361 - 38x + x^2 = 185 \] \[ 2x^2 - 38x + 361 - 185 = 0 \] \[ 2x^2 - 38x + 176 = 0 \]
Чтобы упростить уравнение, разделим все его коэффициенты на 2: \[ x^2 - 19x + 88 = 0 \quad (4) \]
Теперь решим квадратное уравнение (4) с помощью формулы дискриминанта. Дискриминант \( D \) уравнения определяется как: \[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 1, b = -19, c = 88 \): \[ D = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 88 = 361 - 352 = 9 \]
Теперь найдем корни уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 \pm 3}{2} \]
Теперь находим оба значения \( x \):
- \( x_1 = \frac{19 + 3}{2} = \frac{22}{2} = 11 \)
- \( x_2 = \frac{19 - 3}{2} = \frac{16}{2} = 8 \)
Теперь подставим значения \( x_1 \) и \( x_2 \) в уравнение (3), чтобы найти \( y \): Если \( x = 11 \), тогда \[ y = 19 - 11 = 8 \] И наоборот, если \( x = 8 \), тогда \[ y = 19 - 8 = 11 \]
Таким образом, мы нашли два числа: 11 и 8. Поскольку требуется указать числа в порядке возрастания, ответ будет:
Ответ: 88
