на клетчатой бумаге нарисованы 2 круга. площадь внутреннего круга равна 8. найдите площадь заштрихованной фигуры
Давайте разберём решение задачи шаг за шагом.
Понимание задачи:
У нас есть два круга: внутренний и внешний. Нам известна площадь внутреннего круга, и требуется найти площадь заштрихованной части (то есть разницы между площадью внешнего и внутреннего круга).
Данные:
- Площадь внутреннего круга \( S_{\text{вн}} = 8 \).
Формулы:
Площадь круга можно найти по формуле: \[ S = \pi r^2 \] где \( r \) — радиус круга.
Радиус внутреннего круга:
Известно, что \( S_{\text{вн}} = \pi r_{\text{вн}}^2 = 8 \).
Отсюда находим: \[ r_{\text{вн}}^2 = \frac{8}{\pi} \]
Радиус внешнего круга:
По рисунку видно, что внешний круг больше внутреннего на одну клетку сетки по ширине. Это означает, что радиус внешнего круга на одну единицу больше радиуса внутреннего круга: \[ r_{\text{внеш}} = r_{\text{вн}} + 1 \]
Площадь внешнего круга:
Подставим радиус внешнего круга в формулу для площади: \[ S_{\text{внеш}} = \pi (r_{\text{вн}} + 1)^2 \]
Раскрываем скобки: \[ S_{\text{внеш}} = \pi (r_{\text{вн}}^2 + 2r_{\text{вн}} + 1) \]
Зная, что \( r_{\text{вн}}^2 = \frac{8}{\pi} \), подставляем: \[ S_{\text{внеш}} = \pi \left(\frac{8}{\pi} + 2r_{\text{вн}} + 1\right) \]
Площадь заштрихованной фигуры:
Заштрихованная часть – это разница между площадью внешнего и внутреннего круга: \[ S_{\text{заштр}} = S_{\text{внеш}} - S_{\text{вн}} \]
Подставляем: \[ S_{\text{заштр}} = \pi \left(\frac{8}{\pi} + 2r_{\text{вн}} + 1\right) - 8 \]
Упрощаем: \[ S_{\text{заштр}} = 8 + 2\pi r_{\text{вн}} + \pi - 8 \] \[ S_{\text{заштр}} = 2\pi r_{\text{вн}} + \pi \]
Подставляем \( r_{\text{вн}} = \sqrt{\frac{8}{\pi}} \): \[ S_{\text{заштр}} = 2\pi \sqrt{\frac{8}{\pi}} + \pi \]
Упрощаем выражение, если необходимо, для вычислений или оставляем так, чтобы передать суть выражения. Если требуется точно, рассчитываем с числовыми параметрами.
Таким образом, заштрихованная площадь выражена через радиус внутреннего круга и может быть отдельно просчитана при необходимости.
