В выпуклом четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. До-кажите, что площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей.

Давайте разберемся с данной задачей.

Утверждение: В выпуклом четырёхугольнике, где диагонали взаимно перпендикулярны, площадь равна половине произведения его диагоналей.

Доказательство:

1. Обозначим точки: Пусть наш четырёхугольник обозначим как \(ABCD\), где диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\).

2. Свойство перпендикулярных диагоналей: Поскольку диагонали \(AC\) и \(BD\) взаимно перпендикулярны, это означает, что угол \(AOB\), который образуют эти диагонали, равен \(90^\circ\).

3. Разделение четырёхугольника на четыре треугольника: Точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) делят наш четырёхугольник на четыре треугольника: \(AOB\), \(BOC\), \(COD\) и \(DOA\).

4. Площадь треугольника: Площадь произвольного треугольника можно выразить через его основание и высоту по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} \] В нашем случае:

   • Для треугольника \(AOB\) основание \(AB\), но для удобства можем рассмотреть диагонали \(AC\) и \(BD\) как «основания» для высот.

5. Площадь четырёхугольника: Рассмотрим высоты от точки \(O\) до сторон \(AB\), \(BC\), \(CD\) и \(DA\). Так как диагонали перпендикулярны, высота от точки \(O\) на диагональ \(AC\) будет равна половине длины \(BD\) и наоборот.

   Площадь каждого треугольника можно выразить через диагонали:

   • Площадь треугольника \(AOB\) равна \(\frac{1}{2} \times AO \times BO\).
   • Площадь треугольника \(BOC\) равна \(\frac{1}{2} \times BO \times CO\).
   • Площадь треугольника \(COD\) равна \(\frac{1}{2} \times CO \times DO\).
   • Площадь треугольника \(DOA\) равна \(\frac{1}{2} \times DO \times AO\).

6. Суммирование площадей: Теперь нам нужно сложить площади всех четырёх треугольников: \[ S = S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COD} + S_{DOA} \]

   Это приведёт к выражению: \[ S = \frac{1}{2} \times AO \times BO + \frac{1}{2} \times BO \times CO + \frac{1}{2} \times CO \times DO + \frac{1}{2} \times DO \times AO \]

7. Выражение через диагонали: Заметим, что общая площадь четырёхугольника может также быть записана как половина произведения его диагоналей \(AC\) и \(BD\): \[ S = \frac{1}{2} \times AC \times BD \]

8. Заключение: В результате доказано, что площадь выпуклого четырёхугольника с взаимно перпендикулярными диагоналями действительно равна половине произведения его диагоналей: \[ S = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2, \] где \(d_1 = AC\), \(d_2 = BD\).

Таким образом, мы пришли к нужному результату.