1. Катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 12 см. Найди гипотенузу данного треугольника. 2. Сторона прямоугольника равна 7, а диагональ - 25. Найдите другую сторону…

Давай решим каждую задачу по порядку.

1. Нахождение гипотенузы прямоугольного треугольника.

   По теореме Пифагора: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \] где \( c \) — гипотенуза, \( a \) и \( b \) — катеты. Подставляем значения: \[ c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ см} \] Гипотенуза равна 13 см.

2. Нахождение другой стороны прямоугольника.

   Пусть другая сторона равна \( b \). По теореме Пифагора для прямоугольника: \[ d = \sqrt{a^2 + b^2} \] где \( d \) — диагональ, \( a \) — одна сторона. Подставим известные значения: \[ 25 = \sqrt{7^2 + b^2} \] Возведем обе стороны в квадрат: \[ 625 = 49 + b^2 \] \[ b^2 = 625 - 49 = 576 \] \[ b = \sqrt{576} = 24 \] Другая сторона прямоугольника равна 24.

3. Нахождение катета прямоугольного треугольника.

   По теореме Пифагора: \[ a = \sqrt{c^2 - b^2} \] где \( c = 25 \) дм — гипотенуза, \( b = 15 \) дм — другой катет: \[ a = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{625 - 225} = \sqrt{400} = 20 \text{ дм} \] Один катет равен 20 дм.

4. Нахождение \( \sin a \), если \( \cos a = \frac{3}{\sqrt{3^2 + 1^2}} \).

   Если \( \cos a = 3 \), то: \[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \] Подставим значение: \[ \sin^2 a + 3^2 = 1 \] Но так как \( \cos a \) не может превышать 1, \( \cos a = 3 \) — это невозможно. Пожалуйста, проверьте условие задачи.

5. Нахождение тангенса угла \( A \) в треугольнике \( ABC \).

   В прямоугольном треугольнике \( ABC \) с прямым углом \( C \): \[ \tan A = \frac{BC}{AB} \] Здесь \( BC = 8 \), \( AB = 17 \): \[ \tan A = \frac{8}{17} \]

Вот ответы на все задачи:

1. 13 см
2. 24
3. 20 дм
4. Невозможно (проверьте условие)
5. \( \frac{8}{17} \)