Ученику в ходе лабораторной работы по исследованию электромагнитных колебаний выдано две катушки индуктивностями L1=0,5 мГн и L2=4 мГн и два конденсатора емкостями C1=4 нФ и…

Для того чтобы определить минимальную циклическую частоту собственных колебаний в контуре, собранном из двух катушек индуктивности и двух конденсаторов, нам нужно использовать формулу для частоты колебаний в LC-контуре:

\[ f = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}} \]

где:

• \( f \) — частота колебаний в герцах (Гц),
• \( L \) — индуктивность катушки в генри (Гн),
• \( C \) — емкость конденсатора в фарадах (Ф).

Шаг 1: Переводим единицы измерения

Прежде чем подставлять значения в формулу, сначала переведем индуктивности и емкости в стандартные единицы:

• \( L_1 = 0.5 \, \text{мГн} = 0.5 \times 10^{-3} \, \text{Гн} = 5 \times 10^{-4} \, \text{Гн} \)
• \( L_2 = 4 \, \text{мГн} = 4 \times 10^{-3} \, \text{Гн} = 4 \times 10^{-3} \, \text{Гн} \)
• \( C_1 = 4 \, \text{нФ} = 4 \times 10^{-9} \, \text{Ф} \)
• \( C_2 = 6.25 \, \text{нФ} = 6.25 \times 10^{-9} \, \text{Ф} \)

Шаг 2: Вычисление собственных колебаний для катушек и конденсаторов

Мы можем взять комбинацию индуктивностей и емкостей, чтобы найти минимальную частоту колебаний. Минимальная частота будет соответствовать максимальной индуктивности и максимальной емкости.

Рассмотрим все возможные комбинации

1. Комбинация \( (L_1, C_1) \): \[ f_{11} = \frac{1}{2\pi \sqrt{L_1 C_1}} = \frac{1}{2\pi \sqrt{(0.5 \times 10^{-3})(4 \times 10^{-9})}} \]

2. Комбинация \( (L_1, C_2) \): \[ f_{12} = \frac{1}{2\pi \sqrt{L_1 C_2}} = \frac{1}{2\pi \sqrt{(0.5 \times 10^{-3})(6.25 \times 10^{-9})}} \]

3. Комбинация \( (L_2, C_1) \): \[ f_{21} = \frac{1}{2\pi \sqrt{L_2 C_1}} = \frac{1}{2\pi \sqrt{(4 \times 10^{-3})(4 \times 10^{-9})}} \]

4. Комбинация \( (L_2, C_2) \): \[ f_{22} = \frac{1}{2\pi \sqrt{L_2 C_2}} = \frac{1}{2\pi \sqrt{(4 \times 10^{-3})(6.25 \times 10^{-9})}} \]

Шаг 3: Подстановка значений и вычисление

1. Для \( L_1 \) и \( C_1 \): \[ f_{11} = \frac{1}{2\pi \sqrt{(0.5 \times 10^{-3})(4 \times 10^{-9})}} = \frac{1}{2\pi \sqrt{2 \times 10^{-12}}} \approx 0.225 \, \text{кГц} \]

2. Для \( L_1 \) и \( C_2 \): \[ f_{12} = \frac{1}{2\pi \sqrt{(0.5 \times 10^{-3})(6.25 \times 10^{-9})}} = \frac{1}{2\pi \sqrt{3.125 \times 10^{-12}}} \approx 0.283 \, \text{кГц} \]

3. Для \( L_2 \) и \( C_1 \): \[ f_{21} = \frac{1}{2\pi \sqrt{(4 \times 10^{-3})(4 \times 10^{-9})}} = \frac{1}{2\pi \sqrt{16 \times 10^{-12}}} = \frac{1}{2\pi (4 \times 10^{-6})} \approx 39.79 \, \text{кГц} \]

4. Для \( L_2 \) и \( C_2 \): \[ f_{22} = \frac{1}{2\pi \sqrt{(4 \times 10^{-3})(6.25 \times 10^{-9})}} = \frac{1}{2\pi \sqrt{25 \times 10^{-12}}} = \frac{1}{2\pi (5 \times 10^{-6})} \approx 31.83 \, \text{кГц} \]

Шаг 4: Определение минимальной частоты

Сравнив все полученные частоты, мы видим, что минимальная частота колебаний \( f_{11} \approx 0.225 \, \text{кГц} \) (или 225 Гц).

Теперь переведем это значение в единицы \( 10^3 \, \text{s}^{-1} \):

\[ f_{min} = 0.225 \cdot 10^3 \, \text{s}^{-1} = 225 \, \text{s}^{-1} \]

Ответ:

Минимальная циклическая частота собственных колебаний составляет 225 , \text{с}^{-1} (или 0.225 , \text{кГц}).

Если вам нужны дополнительные пояснения или вопросы по теме, дайте знать!